номер 55, страница 39 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

55. Найдите площадь треугольника АВС, если:

a) $AB = 6,5 \text{ см}, BC = 8\sqrt{3} \text{ см}, \angle B = 120^\circ;$

б) $AC = 16 \text{ см}, BC = 10\sqrt{2} \text{ см}, \angle A + \angle B = 135^\circ.$

а)

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой, которая связывает площадь с двумя сторонами и синусом угла между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.

В данном случае нам известны стороны $AB = 6,5$ см, $BC = 8\sqrt{3}$ см и угол между ними $\angle B = 120^\circ$.

Подставим эти значения в формулу площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 6,5 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \sin(120^\circ)$.

Для вычисления синуса $120^\circ$ используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$:

$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим площадь, подставив значение синуса:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6,5 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6,5 \cdot 8 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{6,5 \cdot 8 \cdot 3}{4} = 6,5 \cdot 2 \cdot 3 = 13 \cdot 3 = 39$ см².

Ответ: $39$ см².

б)

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Из условия задачи известно, что сумма углов $\angle A + \angle B = 135^\circ$.

Используя эти данные, мы можем найти величину третьего угла, $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Теперь мы знаем две стороны $AC = 16$ см, $BC = 10\sqrt{2}$ см и угол $\angle C = 45^\circ$ между ними. Мы можем применить ту же формулу для площади треугольника:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C)$.

Подставим известные значения в формулу:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)$.

Значение синуса $45^\circ$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Произведем вычисление площади:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 10\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{16 \cdot 10 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2 \cdot 2} = \frac{16 \cdot 10 \cdot 2}{4} = 8 \cdot 10 = 80$ см².

Ответ: $80$ см².