Номер 6, страница 7 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

6. Дан треугольник $ABC$, точки $K$ и $M$ при-надлежат сторонам $AB$ и $BC$ соответственно, $KM \parallel AC$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $BK = 4 \text{ см}$, $AK = KM = 6 \text{ см}$, $MC = 9 \text{ см}$.

а) 50 см; б) 40 см;

в) 52 см; г) 64 см.

1. Сначала найдем длину стороны $AB$. Так как точка $K$ принадлежит стороне $AB$, то длина стороны $AB$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $BK$. По условию, $BK = 4$ см и $AK = 6$ см.

$AB = AK + BK = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle KBM$ и $\triangle ABC$. По условию, отрезок $KM$ параллелен стороне $AC$ ($KM \parallel AC$).

- Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.

- Углы $\angle BKM$ и $\angle BAC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $KM$ и $AC$ и секущей $AB$.

- Углы $\angle BMK$ и $\angle BCA$ также равны как соответственные углы при тех же параллельных прямых и секущей $BC$.

Следовательно, треугольник $\triangle KBM$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ по двум (или трем) углам.

3. Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{BK}{AB} = \frac{BM}{BC} = \frac{KM}{AC}$

4. Найдем коэффициент подобия $k$, который равен отношению длин известных соответственных сторон $BK$ и $AB$:

$k = \frac{BK}{AB} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

5. Теперь, используя коэффициент подобия, мы можем найти длины неизвестных сторон $AC$ и $BC$.

- Найдем $AC$. Из пропорции $\frac{KM}{AC} = k$ и зная, что $KM = 6$ см, получаем:

$\frac{6}{AC} = \frac{2}{5}$

$2 \cdot AC = 6 \cdot 5$

$2 \cdot AC = 30$

$AC = 15 \text{ см}$.

- Найдем $BC$. Мы знаем, что $BC = BM + MC$ и $MC = 9$ см. Из пропорции $\frac{BM}{BC} = k$ получаем:

$\frac{BM}{BM + 9} = \frac{2}{5}$

Решим это уравнение относительно $BM$:

$5 \cdot BM = 2 \cdot (BM + 9)$

$5 \cdot BM = 2 \cdot BM + 18$

$3 \cdot BM = 18$

$BM = 6 \text{ см}$.

Теперь найдем полную длину стороны $BC$:

$BC = BM + MC = 6 \text{ см} + 9 \text{ см} = 15 \text{ см}$.

6. Наконец, вычислим периметр треугольника $ABC$ как сумму длин его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

$P_{ABC} = 10 \text{ см} + 15 \text{ см} + 15 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Ответ: 40 см.