Номер 10, страница 165 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Упростите выражение $\frac{|x-1|+|x+3|-|x-4|}{|2x+12|}$ при $x < -6$.

Для того чтобы упростить выражение $\frac{|x-1| + |x+3| - |x-4|}{|2x+12|}$ при условии $x < -6$, необходимо раскрыть каждый модуль. Раскрытие модуля зависит от знака выражения, стоящего под знаком модуля.

Определим знаки подмодульных выражений при $x < -6$.

1. Знак выражения $x-1$.
Поскольку $x < -6$, вычитая 1 из обеих частей неравенства, получаем $x-1 < -6-1$, то есть $x-1 < -7$. Следовательно, выражение $x-1$ всегда отрицательно. По определению модуля, $|a| = -a$ если $a<0$, поэтому $|x-1| = -(x-1) = -x+1$.

2. Знак выражения $x+3$.
Поскольку $x < -6$, прибавляя 3 к обеим частям, получаем $x+3 < -6+3$, то есть $x+3 < -3$. Следовательно, выражение $x+3$ всегда отрицательно. Поэтому $|x+3| = -(x+3) = -x-3$.

3. Знак выражения $x-4$.
Поскольку $x < -6$, вычитая 4 из обеих частей, получаем $x-4 < -6-4$, то есть $x-4 < -10$. Следовательно, выражение $x-4$ всегда отрицательно. Поэтому $|x-4| = -(x-4) = -x+4$.

4. Знак выражения $2x+12$.
Поскольку $x < -6$, умножая обе части на 2, получаем $2x < -12$. Прибавляя 12 к обеим частям, получаем $2x+12 < 0$. Следовательно, выражение $2x+12$ всегда отрицательно. Поэтому $|2x+12| = -(2x+12) = -2x-12$.

Теперь подставим полученные выражения в исходную дробь:

$\frac{|x-1| + |x+3| - |x-4|}{|2x+12|} = \frac{(-x+1) + (-x-3) - (-x+4)}{-2x-12}$

Упростим числитель:

$-x+1 - x-3 + x-4 = (-x-x+x) + (1-3-4) = -x-6$

Теперь дробь выглядит так:

$\frac{-x-6}{-2x-12}$

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:

$\frac{-(x+6)}{-2(x+6)}$

Так как по условию $x < -6$, то $x \neq -6$, и, следовательно, $x+6 \neq 0$. Это позволяет нам сократить дробь на общий множитель $(x+6)$:

$\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$