Номер 5, страница 164 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. При каком значении $x$ числа $x-4$; $2x-4$; $5x+2$ являются последовательными членами арифметической прогрессии?

Для того чтобы три числа являлись последовательными членами арифметической прогрессии, необходимо, чтобы средний член был равен среднему арифметическому двух других (соседних) членов.

Пусть даны три последовательных члена арифметической прогрессии:
$a_1 = x - 4$
$a_2 = 2x - 4$
$a_3 = 5x + 2$

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, для этих членов должно выполняться равенство:
$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Это равенство можно записать в виде:
$2a_2 = a_1 + a_3$

Подставим в это уравнение данные выражения для членов прогрессии:
$2(2x - 4) = (x - 4) + (5x + 2)$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$4x - 8 = x - 4 + 5x + 2$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:
$4x - 8 = 6x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:
$4x - 6x = -2 + 8$
$-2x = 6$

Найдем значение $x$:
$x = \frac{6}{-2}$
$x = -3$

Проведем проверку. Подставим найденное значение $x = -3$ в выражения для членов прогрессии:
$a_1 = -3 - 4 = -7$
$a_2 = 2(-3) - 4 = -6 - 4 = -10$
$a_3 = 5(-3) + 2 = -15 + 2 = -13$

Мы получили последовательность чисел: –7; –10; –13.
Найдем разность прогрессии:
$d = a_2 - a_1 = -10 - (-7) = -3$
$d = a_3 - a_2 = -13 - (-10) = -3$
Так как разности равны, эти числа действительно являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Ответ: -3