Номер 9, страница 163 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 3$ см, $AD = 4$ см. В треугольники $ABC$ и $ADC$ вписаны окружности, которые касаются диагонали $AC$ в точках $M$ и $K$, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка $MK$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то треугольники $ABC$ и $ADC$ являются прямоугольными ( $\angle B = 90^\circ$ и $\angle D = 90^\circ$ ). Стороны прямоугольника: $AB=3$ см, $AD=4$ см. Отсюда следует, что $BC = AD = 4$ см и $CD = AB = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Найдем длину его гипотенузы $AC$ по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

В треугольник $ABC$ вписана окружность. Точка $M$ — это точка касания окружности со стороной $AC$. Существует свойство, согласно которому расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности равно разности полупериметра и противолежащей стороны.

Найдем полупериметр $p$ треугольника $ABC$: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{3 + 4 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Длина отрезка $AM$ (от вершины $A$ до точки касания на стороне $AC$) равна полупериметру минус длина стороны, противолежащей вершине $A$ (то есть стороны $BC$): $AM = p - BC = 6 - 4 = 2$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Он имеет такие же стороны ($AD=4$ см, $CD=3$ см, $AC=5$ см) и, следовательно, такой же полупериметр $p = 6$ см. В него вписана окружность, касающаяся стороны $AC$ в точке $K$.

Длина отрезка $CK$ (от вершины $C$ до точки касания на стороне $AC$) равна полупериметру минус длина стороны, противолежащей вершине $C$ (то есть стороны $AD$): $CK = p - AD = 6 - 4 = 2$ см.

Точки $A, M, K, C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$. Длина отрезка $MK$ может быть найдена как разность длины всей диагонали и длин отрезков $AM$ и $CK$: $MK = AC - AM - CK = 5 - 2 - 2 = 1$ см.

Ответ: 1 см.