Номер 6, страница 163 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите площадь треугольника ABC (см. рис.), если размеры одной клетки $1 \text{ см} \times 1 \text{ см}$.

Для нахождения площади треугольника, изображенного на клетчатой бумаге, можно использовать метод "дополнения до прямоугольника". Суть метода заключается в том, чтобы описать вокруг треугольника прямоугольник, стороны которого параллельны линиям сетки, а затем из площади этого прямоугольника вычесть площади образовавшихся прямоугольных треугольников.

1. Введем систему координат. Пусть начало координат (0,0) находится в левом нижнем углу сетки, изображенной на рисунке. Так как размер одной клетки равен 1 см × 1 см, мы можем определить координаты вершин треугольника $ABC$:

• Координаты вершины A: (1, 1)
• Координаты вершины B: (3, 5)
• Координаты вершины C: (5, 2)

2. Построим прямоугольник, который проходит через вершины треугольника и стороны которого параллельны осям координат. Вершины этого прямоугольника будут иметь координаты, равные минимальным и максимальным значениям координат x и y вершин треугольника $ABC$.
Минимальная координата по оси x: 1 (у вершины A).
Максимальная координата по оси x: 5 (у вершины C).
Минимальная координата по оси y: 1 (у вершины A).
Максимальная координата по оси y: 5 (у вершины B).
Таким образом, прямоугольник ограничен точками с координатами (1, 1), (5, 1), (5, 5) и (1, 5).

3. Найдем площадь этого прямоугольника ($S_{прям}$). Длина его сторон равна:
Длина = $5 - 1 = 4$ см.
Высота = $5 - 1 = 4$ см.
Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = \text{длина} \times \text{высота}$.
$S_{прям} = 4 \times 4 = 16$ см².

4. Теперь найдем площади трех прямоугольных треугольников, которые находятся внутри прямоугольника, но вне треугольника $ABC$.

Первый треугольник (нижний) имеет вершины в точках A(1,1), C(5,2) и в точке (5,1). Его катеты равны $5 - 1 = 4$ см и $2 - 1 = 1$ см.
Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$ см².

Второй треугольник (правый верхний) имеет вершины в точках B(3,5), C(5,2) и в точке (5,5). Его катеты равны $5 - 3 = 2$ см и $5 - 2 = 3$ см.
Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$ см².

Третий треугольник (левый верхний) имеет вершины в точках A(1,1), B(3,5) и в точке (1,5). Его катеты равны $3 - 1 = 2$ см и $5 - 1 = 4$ см.
Площадь третьего треугольника: $S_3 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ см².

5. Чтобы найти площадь искомого треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$), вычтем из площади прямоугольника сумму площадей трех найденных прямоугольных треугольников.
$S_{ABC} = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3)$
$S_{ABC} = 16 - (2 + 3 + 4)$
$S_{ABC} = 16 - 9 = 7$ см².

Ответ: 7 см².