Номер 9, страница 161 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. В треугольнике $ABC$ проведены биссектриса $BK$ и медиана $CM$, которые пересекаются в точке $F$. Площадь треугольника $ABC$ равна 120, $AB : BC = 2 : 3$. Найдите площадь четырехугольника $AMFK$.

Для решения задачи найдем площадь четырехугольника $AMFK$, представив ее как разность площадей треугольников $ABK$ и $MBF$.

1. Найдем площадь треугольника $ABK$.
$BK$ — биссектриса угла $B$ в треугольнике $ABC$. По свойству биссектрисы, она делит противолежащую сторону $AC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $ \frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC} $

По условию $AB : BC = 2 : 3$, следовательно, $ \frac{AK}{KC} = \frac{2}{3} $.

Треугольники $ABK$ и $CBK$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований $AK$ и $KC$: $ \frac{S_{ABK}}{S_{CBK}} = \frac{AK}{KC} = \frac{2}{3} $

Площадь всего треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих треугольников: $S_{ABC} = S_{ABK} + S_{CBK} = 120$.

Пусть $S_{ABK} = 2x$, тогда $S_{CBK} = 3x$. Получаем уравнение: $ 2x + 3x = 120 $ $ 5x = 120 $ $ x = 24 $

Таким образом, площадь треугольника $ABK$ равна $S_{ABK} = 2x = 2 \cdot 24 = 48$.

2. Найдем отношение, в котором точка $F$ делит медиану $CM$.
Рассмотрим треугольник $AMC$ и секущую $B-F-K$. По теореме Менелая: $ \frac{AB}{BM} \cdot \frac{MF}{FC} \cdot \frac{CK}{KA} = 1 $

Разберем каждое отношение: - $CM$ — медиана, значит, точка $M$ — середина стороны $AB$. Следовательно, $AB = 2 \cdot BM$, и $ \frac{AB}{BM} = 2 $. - Из пункта 1 мы знаем, что $ \frac{AK}{KC} = \frac{2}{3} $, значит, $ \frac{CK}{KA} = \frac{3}{2} $.

Подставим известные значения в формулу теоремы Менелая: $ 2 \cdot \frac{MF}{FC} \cdot \frac{3}{2} = 1 $ $ 3 \cdot \frac{MF}{FC} = 1 $ $ \frac{MF}{FC} = \frac{1}{3} $

Это означает, что точка $F$ делит медиану $CM$ в отношении $1:3$, считая от точки $M$.

3. Найдем площадь треугольника $MBF$.
$CM$ — медиана, поэтому она делит треугольник $ABC$ на два равновеликих треугольника: $S_{AMC} = S_{BMC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Отрезок $BF$ делит его на два треугольника $MBF$ и $CBF$, которые имеют общую высоту из вершины $B$. Отношение их площадей равно отношению оснований $MF$ и $FC$: $ \frac{S_{MBF}}{S_{CBF}} = \frac{MF}{FC} = \frac{1}{3} $

Площадь треугольника $BMC$ равна $S_{BMC} = S_{MBF} + S_{CBF} = 60$.

Так как $S_{CBF} = 3 \cdot S_{MBF}$, то $S_{MBF} + 3 \cdot S_{MBF} = 60$. $ 4 \cdot S_{MBF} = 60 $ $ S_{MBF} = 15 $

4. Найдем площадь четырехугольника $AMFK$.
Площадь четырехугольника $AMFK$ можно найти как разность площадей треугольника $ABK$ и треугольника $MBF$: $ S_{AMFK} = S_{ABK} - S_{MBF} $

Подставляем найденные значения: $ S_{AMFK} = 48 - 15 = 33 $

Ответ: 33.