Номер 8, страница 161 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Решите уравнение $\frac{x^2 + 3x}{x+3} = 2 - x^2.$

Данное уравнение является рациональным уравнением.

$$ \frac{x^2 + 3x}{x + 3} = 2 - x^2 $$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$$ x + 3 \neq 0 $$

$$ x \neq -3 $$

Теперь упростим левую часть уравнения. Вынесем общий множитель $x$ за скобки в числителе:

$$ x^2 + 3x = x(x + 3) $$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$$ \frac{x(x + 3)}{x + 3} = 2 - x^2 $$

Так как мы учли, что $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 3)$:

$$ x = 2 - x^2 $$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все его члены в левую часть, чтобы привести к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ x^2 + x - 2 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета, согласно которой сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются числа $1$ и $-2$.

Также можно решить через дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 $$

Найдем корни уравнения:

$$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

$$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

Оба найденных корня ($x_1 = -2$ и $x_2 = 1$) удовлетворяют условию ОДЗ ($x \neq -3$), следовательно, они являются решениями исходного уравнения.

Ответ: -2; 1.