Номер 10, страница 161 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Имеется 2 ящика для упаковки фруктов. В первом ящике — 54 ячейки, причем в каждом ряду их одинаковое количество. Во втором ящике — 56 ячеек, при этом число рядов меньше на 2, а в каждом ряду на 5 ячеек больше, чем в первом ящике. Сколько ячеек в каждом ряду в первом ящике?

Пусть x — это количество ячеек в каждом ряду в первом ящике, а y — количество рядов в первом ящике.

Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений.
Для первого ящика, в котором всего 54 ячейки, справедливо равенство:
$x \cdot y = 54$

Для второго ящика, в котором 56 ячеек, количество рядов на 2 меньше, чем в первом, то есть $(y - 2)$, а количество ячеек в каждом ряду на 5 больше, то есть $(x + 5)$. Для второго ящика получаем уравнение:
$(x + 5) \cdot (y - 2) = 56$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1) $x \cdot y = 54$
2) $(x + 5) \cdot (y - 2) = 56$

Из первого уравнения выразим переменную y через x:
$y = \frac{54}{x}$

Подставим полученное выражение для y во второе уравнение:
$(x + 5) \cdot (\frac{54}{x} - 2) = 56$

Раскроем скобки и решим уравнение:
$x \cdot \frac{54}{x} - 2 \cdot x + 5 \cdot \frac{54}{x} - 5 \cdot 2 = 56$
$54 - 2x + \frac{270}{x} - 10 = 56$
$44 - 2x + \frac{270}{x} = 56$

Перенесем число 44 в правую часть уравнения и приведем подобные слагаемые:
$-2x + \frac{270}{x} = 56 - 44$
$-2x + \frac{270}{x} = 12$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на x (мы знаем, что $x \neq 0$, так как это количество ячеек):
$-2x^2 + 270 = 12x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$:
$2x^2 + 12x - 270 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 + 6x - 135 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-135) = 36 + 540 = 576$
$\sqrt{D} = \sqrt{576} = 24$
Теперь найдем корни:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 24}{2} = \frac{18}{2} = 9$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 24}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку x — это количество ячеек в ряду, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, единственное верное решение — $x = 9$.

Проверим найденное решение.
Если в первом ящике 9 ячеек в ряду, то количество рядов в нем $y = 54 / 9 = 6$.
Во втором ящике количество ячеек в ряду будет $9 + 5 = 14$, а количество рядов $6 - 2 = 4$.
Общее количество ячеек во втором ящике: $14 \cdot 4 = 56$.
Результаты проверки соответствуют условиям задачи.

Ответ: 9.