Номер 10, страница 163 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Упростите выражение $\frac{|x - 2| + |x + 4| - |x|}{|x + 2|}$ при $x < -4$.

Чтобы упростить выражение при условии $x < -4$, необходимо раскрыть каждый модуль. По определению, $|a| = -a$, если $a < 0$. Определим знаки выражений под каждым из модулей.

1. Знак выражения $x-2$. Так как $x < -4$, то $x-2$ будет тем более отрицательным ($x-2 < -4-2 = -6$). Следовательно, $x-2 < 0$, и $|x-2| = -(x-2) = -x+2$.

2. Знак выражения $x+4$. По условию $x < -4$, значит $x+4 < 0$. Следовательно, $|x+4| = -(x+4) = -x-4$.

3. Знак выражения $x$. Так как $x < -4$, то $x$ является отрицательным числом. Следовательно, $|x| = -x$.

4. Знак выражения $x+2$. Так как $x < -4$, то $x+2$ также будет отрицательным ($x+2 < -4+2 = -2$). Следовательно, $x+2 < 0$, и $|x+2| = -(x+2) = -x-2$.

Теперь подставим раскрытые модули в исходное выражение:

$\frac{|x-2| + |x+4| - |x|}{|x+2|} = \frac{(-x+2) + (-x-4) - (-x)}{-x-2}$

Упростим числитель полученной дроби:

$-x+2 - x - 4 + x = (-x-x+x) + (2-4) = -x-2$

В результате все выражение принимает вид:

$\frac{-x-2}{-x-2}$

Так как числитель и знаменатель равны и не обращаются в ноль при $x < -4$ (знаменатель $-x-2=0$ при $x=-2$, что не удовлетворяет условию $x < -4$), то их частное равно 1.

Ответ: 1