Номер 8, страница 163 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы $y = 2x^2 + 3$ и прямой $y = 2x + 7$.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков двух функций, не выполняя построения, необходимо решить систему уравнений, составленную из этих функций. В точках пересечения координаты $x$ и $y$ у обоих графиков совпадают.

Даны уравнения параболы и прямой:

$ \begin{cases} y = 2x^2 + 3 \\ y = 2x + 7 \end{cases} $

Так как левые части уравнений равны (обе равны $y$), мы можем приравнять их правые части, чтобы найти абсциссы ($x$) точек пересечения:

$2x^2 + 3 = 2x + 7$

Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$2x^2 - 2x + 3 - 7 = 0$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 - x - 2 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Воспользуемся формулой корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$a=1, b=-1, c=-2$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня.

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь для каждого значения $x$ найдём соответствующую ординату ($y$), подставив $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = 2x + 7$.

1. Для $x_1 = 2$:

$y_1 = 2(2) + 7 = 4 + 7 = 11$

Следовательно, первая точка пересечения — $(2; 11)$.

2. Для $x_2 = -1$:

$y_2 = 2(-1) + 7 = -2 + 7 = 5$

Следовательно, вторая точка пересечения — $(-1; 5)$.

Ответ: $(2; 11)$ и $(-1; 5)$.