Номер 6, страница 165 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Найдите площадь треугольника ABC (см. рис.), если размеры одной клетки $1 \text{ см} \times 1 \text{ см}$.

Для нахождения площади треугольника $ABC$, изображенного на клетчатой бумаге, воспользуемся методом вычитания площади из площади описанного прямоугольника.

1. Введем систему координат. Пусть сторона одной клетки равна 1 см. Расположим начало координат так, чтобы вершины треугольника получили целочисленные координаты. Например, пусть координаты вершин будут:

• $A = (1, 1)$
• $B = (2, 5)$
• $C = (5, 3)$

2. Построим прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат и проходят через крайние точки треугольника. Вершины этого прямоугольника будут находиться в точках $P(1, 1)$, $Q(5, 1)$, $R(5, 5)$ и $S(1, 5)$.

3. Вычислим площадь этого прямоугольника ($S_{прям}$). Его длина составляет $5 - 1 = 4$ см, а высота — $5 - 1 = 4$ см. Площадь прямоугольника равна:

$S_{прям} = 4 \times 4 = 16$ см$^2$.

4. Площадь искомого треугольника $ABC$ ($S_{ABC}$) можно найти, если из площади прямоугольника вычесть площади трех треугольников, которые расположены в углах прямоугольника, вне треугольника $ABC$. Обозначим их площади как $S_1$, $S_2$ и $S_3$.

• Треугольник 1 ($S_1$): это треугольник с вершинами в точках $A(1, 1)$, $S(1, 5)$ и $B(2, 5)$. Его основание $AS$ лежит на стороне прямоугольника и имеет длину $5 - 1 = 4$ см. Высота, проведенная из вершины $B$ к прямой, содержащей основание, равна $2 - 1 = 1$ см. Его площадь: $S_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 1 = 2$ см$^2$.
• Треугольник 2 ($S_2$): это треугольник с вершинами в точках $B(2, 5)$, $R(5, 5)$ и $C(5, 3)$. Его основание $RC$ лежит на стороне прямоугольника и имеет длину $5 - 3 = 2$ см. Высота, проведенная из вершины $B$ к прямой, содержащей основание, равна $5 - 2 = 3$ см. Его площадь: $S_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$ см$^2$.
• Треугольник 3 ($S_3$): это треугольник с вершинами в точках $C(5, 3)$, $Q(5, 1)$ и $A(1, 1)$. Его основание $CQ$ лежит на стороне прямоугольника и имеет длину $3 - 1 = 2$ см. Высота, проведенная из вершины $A$ к прямой, содержащей основание, равна $5 - 1 = 4$ см. Его площадь: $S_3 = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ см$^2$.

5. Суммарная площадь этих трех треугольников равна:

$S_{внеш} = S_1 + S_2 + S_3 = 2 + 3 + 4 = 9$ см$^2$.

6. Теперь найдем площадь треугольника $ABC$, вычитая из площади прямоугольника суммарную площадь внешних треугольников:

$S_{ABC} = S_{прям} - S_{внеш} = 16 - 9 = 7$ см$^2$.

Ответ: 7 см$^2$.