Номер 8, страница 165 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы $y = -x^2 + 3$ и прямой $y = -2x - 5.$

Для того чтобы найти координаты точек пересечения параболы и прямой, необходимо решить систему уравнений, состоящую из уравнений этих двух функций. В точках пересечения их координаты $(x, y)$ совпадают, поэтому можно приравнять правые части уравнений.

Даны уравнения:

$y = -x^2 + 3$ (парабола)

$y = -2x - 5$ (прямая)

Приравниваем правые части уравнений:

$-x^2 + 3 = -2x - 5$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$-x^2 + 2x + 3 + 5 = 0$

$-x^2 + 2x + 8 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней через дискриминант. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня (абсциссы точек пересечения). Найдем их:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив каждое значение $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = -2x - 5$.

Для $x_1 = 4$:

$y_1 = -2(4) - 5 = -8 - 5 = -13$

Первая точка пересечения имеет координаты $(4, -13)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = -2(-2) - 5 = 4 - 5 = -1$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(-2, -1)$.

Ответ: $(4, -13)$ и $(-2, -1)$.