Номер 9, страница 165 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 5$ см, $AD = 12$ см. В треугольники $ABC$ и $ADC$ вписаны окружности, которые касаются диагонали $AC$ в точках $M$ и $K$, как показано на рисунке. Найдите длину отрезка $MK$.

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$. Диагональ $AC$ делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По условию, $AB = 5$ см и $AD = 12$ см. Следовательно, в $\triangle ABC$ катеты $AB = 5$ см и $BC = AD = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину общей гипотенузы $AC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

В $\triangle ABC$ вписана окружность, которая касается гипотенузы $AC$ в точке $M$. Длину отрезка $AM$ можно найти по формуле для отрезка от вершины до точки касания вписанной окружности. Для вершины $A$ эта длина равна полусумме прилежащих сторон минус противолежащая сторона:

$AM = \frac{AB + AC - BC}{2}$

Подставив известные значения, получаем:

$AM = \frac{5 + 13 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Аналогично, в $\triangle ADC$ вписана окружность, касающаяся гипотенузы $AC$ в точке $K$. Треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ равны. В силу симметрии задачи, расстояние от вершины $C$ до точки касания $K$ в треугольнике $\triangle ADC$ будет таким же, как и расстояние от вершины $A$ до точки касания $M$ в треугольнике $\triangle ABC$. Таким образом:

$CK = AM = 3$ см.

Точки $A, M, K, C$ лежат на одной прямой — диагонали $AC$. Длину искомого отрезка $MK$ можно найти, вычтя из общей длины диагонали $AC$ длины крайних отрезков $AM$ и $CK$:

$MK = AC - AM - CK$

$MK = 13 - 3 - 3 = 7$ см.

Ответ: 7 см.