Номер 2, страница 84 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Как доказать равенство уровней поверхности однородной жидкости в открытых сообщающихся сосудах?

Решение

Равенство уровней однородной жидкости в открытых сообщающихся сосудах является следствием закона Паскаля и условия гидростатического равновесия. Доказательство основывается на том, что в покоящейся жидкости давление на любом горизонтальном уровне одинаково.

Рассмотрим два сообщающихся сосуда произвольной формы, в которые налита однородная жидкость плотностью $\rho$. Так как сосуды открыты, на свободную поверхность жидкости в каждом из них действует одинаковое атмосферное давление $p_a$.

Допустим, что жидкость находится в равновесии, а уровни ее поверхности в левом и правом сосудах различны. Пусть высота столба жидкости в первом сосуде равна $h_1$, а во втором — $h_2$ относительно некоторого общего горизонтального уровня.

Выберем произвольный горизонтальный уровень в самой нижней части, где сосуды соединены. Давление, создаваемое столбом жидкости в первом (левом) сосуде на этом уровне, равно сумме атмосферного давления и гидростатического давления столба жидкости высотой $h_1$:
$p_1 = p_a + \rho g h_1$

Аналогично, давление, создаваемое столбом жидкости во втором (правом) сосуде на этом же уровне, равно:
$p_2 = p_a + \rho g h_2$

Поскольку жидкость находится в состоянии равновесия (то есть не перетекает из одного сосуда в другой), давления на одном и том же горизонтальном уровне должны быть равны. Если бы давление было разным, то под действием разности давлений жидкость начала бы перемещаться в сторону меньшего давления до тех пор, пока давления не выровняются. Таким образом, для состояния равновесия должно выполняться условие:
$p_1 = p_2$

Приравняем выражения для давлений:
$p_a + \rho g h_1 = p_a + \rho g h_2$

Вычтем из обеих частей уравнения атмосферное давление $p_a$:
$\rho g h_1 = \rho g h_2$

Так как плотность жидкости $\rho$ и ускорение свободного падения $\text{g}$ являются постоянными и не равными нулю величинами, мы можем разделить обе части уравнения на $\rho g$. В результате получаем:
$h_1 = h_2$

Это равенство доказывает, что высоты столбов жидкости в обоих сосудах одинаковы. Следовательно, свободные поверхности однородной жидкости в открытых сообщающихся сосудах всегда устанавливаются на одном уровне, независимо от формы сосудов.

Ответ: Равенство уровней доказывается исходя из условия гидростатического равновесия, согласно которому давление на любом горизонтальном уровне внутри покоящейся жидкости одинаково. Приравнивая выражения для давлений в левом и правом коленах сосуда на одном и том же уровне ($p_1 = p_a + \rho g h_1$ и $p_2 = p_a + \rho g h_2$), и учитывая, что $p_1 = p_2$, получаем, что высоты столбов жидкости $h_1$ и $h_2$ должны быть равны.