номер 8, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

8.Земля движется вокруг Солнца по орбите, близкой к круговой, радиусом $r = 1,5 \cdot 10^{11}$ м. Определите массу Солнца.

Дано:
$r = 1,5 \cdot 10^{11}\text{ м}$
$T = 1\text{ год} \approx 365\text{ суток} = 365 \cdot 24 \cdot 3600\text{ с} \approx 3,15 \cdot 10^7\text{ с}$
$G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}\text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$

Найти:
$M$ — ?

Решение:

Земля движется вокруг Солнца по круговой орбите под действием силы гравитационного притяжения, которая сообщает ей центростремительное ускорение.

По второму закону Ньютона: $$F = m \cdot a_{\text{ц}}$$ где $m$ — масса Земли, $a_{\text{ц}}$ — центростремительное ускорение.

Сила притяжения между Землей и Солнцем определяется по закону всемирного тяготения (где $M$ — масса Солнца): $$F = G \frac{M \cdot m}{r^2}$$

Центростремительное ускорение связано со скоростью движения по орбите формулой: $$a_{\text{ц}} = \frac{v^2}{r}$$

Линейную скорость движения Земли можно выразить через период обращения $T$ и радиус орбиты $r$: $$v = \frac{2\pi r}{T}$$

Тогда центростремительное ускорение принимает вид: $$a_{\text{ц}} = \frac{\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2}{r} = \frac{4\pi^2 r^2}{T^2 \cdot r} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

Приравняем силу тяготения ко второму закону Ньютона: $$G \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

Разделим обе части равенства на массу Земли $m$: $$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$$

Выразим массу Солнца $M$: $$M = \frac{4\pi^2 r^3}{G T^2}$$

Подставим числовые значения физических величин в полученную формулу: $$M = \frac{4 \cdot 3,14^2 \cdot (1,5 \cdot 10^{11})^3}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (3,15 \cdot 10^7)^2}$$

Произведем вычисления: $$(1,5 \cdot 10^{11})^3 = 3,375 \cdot 10^{33}\text{ м}^3$$ $$(3,15 \cdot 10^7)^2 \approx 9,92 \cdot 10^{14}\text{ с}^2$$ $$M = \frac{4 \cdot 9,86 \cdot 3,375 \cdot 10^{33}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 9,92 \cdot 10^{14}} = \frac{133,11 \cdot 10^{33}}{66,17 \cdot 10^3} \approx 2,01 \cdot 10^{30}\text{ кг}$$

Ответ: $M \approx 2 \cdot 10^{30}\text{ кг}$.