номер 7, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

7. Вокруг одной из планет Солнечной системы по круговой орбите радиусом $R = 9400 \text{ км}$ обращается спутник. Период его обращения $T = 7 \text{ ч } 40 \text{ мин}$. Определите массу планеты. О какой планете идёт речь?

Дано:
$R = 9400\text{ км} = 9{,}4 \cdot 10^6\text{ м}$
$T = 7\text{ ч } 40\text{ мин} = (7 \cdot 3600 + 40 \cdot 60)\text{ с} = 27\,600\text{ с}$
$G \approx 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$ (гравитационная постоянная)

Найти:
$M$ — ?
Планета — ?

Решение:

На спутник, движущийся по круговой орбите вокруг планеты, действует сила всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. По второму закону Ньютона:

$$F_{\text{т}} = m a_{\text{ц}}$$

Распишем силу тяготения и центростремительное ускорение (где $m$ — масса спутника, $M$ — масса планеты, $v$ — орбитальная скорость спутника):

$$G \frac{M m}{R^2} = m \frac{v^2}{R}$$

Сократим обе части уравнения на массу спутника $m$ и радиус $R$:

$$G \frac{M}{R} = v^2$$

Скорость движения спутника по круговой орбите выражается через период обращения $T$ и длину орбиты:

$$v = \frac{2\pi R}{T}$$

Подставим формулу для скорости в исходное равенство:

$$G \frac{M}{R} = \left(\frac{2\pi R}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2 R^2}{T^2}$$

Выразим отсюда искомую массу планеты $M$:

$$M = \frac{4\pi^2 R^3}{G T^2}$$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$$M = \frac{4 \cdot (3{,}14)^2 \cdot (9{,}4 \cdot 10^6)^3}{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot (27\,600)^2} \approx \frac{39{,}44 \cdot 830{,}58 \cdot 10^{18}}{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 7{,}62 \cdot 10^8} \approx \frac{3{,}28 \cdot 10^{22}}{5{,}08 \cdot 10^{-2}} \approx 6{,}45 \cdot 10^{23}\text{ кг}$$

Полученная масса $M \approx 6{,}45 \cdot 10^{23}\text{ кг}$ и указанные параметры орбиты соответствуют планете Марс (спутником с такими характеристиками орбиты является Фобос).

Ответ: $M \approx 6{,}45 \cdot 10^{23}\text{ кг}$; речь идёт о Марсе.