номер 5, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

5. На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения, действующая на тело, уменьшится в $k = 3$ раза? Радиус Земли $R_3 = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$.

5.Дано:
$k = 3$
$R_{\text{з}} = 6{,}4 \cdot 10^6\text{ м}$
$\dfrac{F_1}{F_2} = k$
Найти: $h$ — ?

Решение:
Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения тела массой $m$ к Земле на её поверхности равна: $$F_1 = G\frac{M \cdot m}{R_{\text{з}}^2}$$(где $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса Земли, $R_{\text{з}}$ — радиус Земли).

На высоте $h$ от поверхности Земли расстояние от тела до центра Земли составляет $R = R_{\text{з}} + h$. Сила тяготения на этой высоте равна: $$F_2 = G\frac{M \cdot m}{(R_{\text{з}} + h)^2}$$

По условию задачи сила тяготения уменьшается в $k$ раз, то есть отношение сил: $$\frac{F_1}{F_2} = k$$ Подставим формулы сил тяготения в это отношение: $$\frac{G\dfrac{M \cdot m}{R_{\text{з}}^2}}{G\dfrac{M \cdot m}{(R_{\text{з}} + h)^2}} = \frac{(R_{\text{з}} + h)^2}{R_{\text{з}}^2} = \left(\frac{R_{\text{з}} + h}{R_{\text{з}}}\right)^2 = k$$

Извлечём квадратный корень из обеих частей равенства: $$\frac{R_{\text{з}} + h}{R_{\text{з}}} = \sqrt{k}$$ $$1 + \frac{h}{R_{\text{з}}} = \sqrt{k}$$ $$\frac{h}{R_{\text{з}}} = \sqrt{k} - 1$$ Выразим искомую высоту $h$: $$h = R_{\text{з}}(\sqrt{k} - 1)$$

Вычислим значение высоты (примем $\sqrt{3} \approx 1{,}732$): $$h = 6{,}4 \cdot 10^6 \cdot (\sqrt{3} - 1) = 6{,}4 \cdot 10^6 \cdot (1{,}732 - 1) = 6{,}4 \cdot 10^6 \cdot 0{,}732 \approx 4{,}68 \cdot 10^6\text{ м}$$ Переведём полученное значение в километры: $$h \approx 4680\text{ км}$$

Ответ: $h \approx 4{,}7 \cdot 10^6\text{ м}$ (или примерно $4680\text{ км}$).