Номер 356, страница 92 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано:

$\text{h}$ — высота сосудов;

$h_0 = \frac{h}{2}$ — начальный уровень жидкости;

$\rho$ — плотность жидкости;

$S_1$ — площадь сечения широкого сосуда;

$S_2$ — площадь сечения узкого сосуда;

Найти:

$\text{m}$ — ?

Решение:

1. В начальном состоянии жидкость в сообщающихся сосудах находится на одном уровне, равном $\frac{h}{2}$.

2. Когда на поршень в широком сосуде (площадью $S_1$) насыпают песок массой $\text{m}$, создается избыточное давление. В результате уровень жидкости в широком сосуде опускается на величину $\Delta h_1$, а в узком сосуде (площадью $S_2$) поднимается на величину $\Delta h_2$.

3. По условию жидкость начинает выливаться из узкого сосуда. Это значит, что уровень жидкости в нем достиг верхнего края высотой $\text{h}$. Следовательно, изменение высоты в узком сосуде составит:

$$ \Delta h_2 = h - \frac{h}{2} = \frac{h}{2} $$

4. Так как жидкость считается несжимаемой, объем вытесненной жидкости из широкого сосуда равен объему жидкости, поступившей в узкий сосуд:

$$ V_1 = V_2 \Rightarrow S_1 \cdot \Delta h_1 = S_2 \cdot \Delta h_2 $$

Выразим смещение уровня в широком сосуде $\Delta h_1$:

$$ \Delta h_1 = \frac{S_2}{S_1} \cdot \Delta h_2 = \frac{S_2}{S_1} \cdot \frac{h}{2} $$

5. Условие равновесия системы: давление, создаваемое поршнем с песком, уравновешивается гидростатическим давлением разности столбов жидкости в двух сосудах. Разность уровней жидкости $\Delta H$ будет равна сумме опускания уровня в первом сосуде и поднятия во втором:

$$ \Delta H = \Delta h_1 + \Delta h_2 $$

Подставим значения:

$$ \Delta H = \frac{S_2 h}{2 S_1} + \frac{h}{2} = \frac{h}{2} \left( \frac{S_2}{S_1} + 1 \right) = \frac{h (S_2 + S_1)}{2 S_1} $$

6. Запишем уравнение давлений на уровне новой поверхности жидкости в широком сосуде:

$$ \frac{mg}{S_1} = \rho g \Delta H $$

Где $\text{g}$ — ускорение свободного падения (сокращается в обеих частях равенства). Подставим выражение для $\Delta H$ и выразим массу $\text{m}$:

$$ \frac{m}{S_1} = \rho \cdot \frac{h (S_1 + S_2)}{2 S_1} $$

Умножим обе части на $S_1$:

$$ m = \frac{\rho h (S_1 + S_2)}{2} $$

Ответ: $m = \frac{\rho h (S_1 + S_2)}{2}$