Номер 354, страница 91 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано:

Высота слоя машинного масла, $h_1 = 48$ см

Высота слоя керосина, $h_2 = 20$ см

Плотность машинного масла (справочное значение), $\rho_1 = 900$ кг/м³

Плотность керосина (справочное значение), $\rho_2 = 800$ кг/м³

Плотность ртути (справочное значение), $\rho_{рт} = 13600$ кг/м³

$h_1 = 48 \text{ см} = 0.48 \text{ м}$
$h_2 = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

Найти:

Разность уровней ртути в сосудах, $\Delta h$

Решение:

Данная задача описывает систему сообщающихся сосудов, в которых находятся несколько несмешивающихся жидкостей. Согласно основному принципу гидростатики для сообщающихся сосудов, давления на любом произвольном горизонтальном уровне в покоящейся жидкости должны быть одинаковы.

В первом сосуде поверх ртути налит слой масла, а во втором — слой керосина. Эти жидкости создают дополнительное давление на ртуть. Давление, создаваемое столбом масла, равно $p_1 = \rho_1 g h_1$, а столбом керосина — $p_2 = \rho_2 g h_2$.

Сравним давления, создаваемые маслом и керосином:

$p_1 = 900 \cdot g \cdot 0.48 = 432g$

$p_2 = 800 \cdot g \cdot 0.20 = 160g$

Поскольку $p_1 > p_2$, столб масла оказывает большее давление. Это приведет к тому, что уровень ртути в сосуде с маслом опустится, а в сосуде с керосином — поднимется. Возникнет разность уровней ртути $\Delta h$.

Выберем горизонтальный уровень на границе раздела масла и ртути в первом сосуде. Давление в этой точке $P_1$ со стороны первого сосуда создается столбом масла и атмосферным давлением:

$P_1 = P_{атм} + \rho_1 g h_1$

На этом же уровне во втором сосуде давление $P_2$ создается столбом керосина, столбом ртути высотой $\Delta h$ (разность уровней) и атмосферным давлением:

$P_2 = P_{атм} + \rho_2 g h_2 + \rho_{рт} g \Delta h$

В состоянии равновесия $P_1 = P_2$:

$P_{атм} + \rho_1 g h_1 = P_{атм} + \rho_2 g h_2 + \rho_{рт} g \Delta h$

Сократим $P_{атм}$ и $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2 + \rho_{рт} \Delta h$

Выразим искомую разность уровней $\Delta h$:

$\rho_{рт} \Delta h = \rho_1 h_1 - \rho_2 h_2$

$\Delta h = \frac{\rho_1 h_1 - \rho_2 h_2}{\rho_{рт}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta h = \frac{900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.48 \text{ м} - 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.20 \text{ м}}{13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}$

$\Delta h = \frac{432 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2} - 160 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}}{13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{272 \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}}{13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}$

$\Delta h = 0.02 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0.02 \text{ м} = 2 \text{ см}$.

Ответ: разность уровней ртути в сосудах составляет 2 см.