Номер 353, страница 91 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

` only inline. - So `

content
content

*353

Дано:

$n = 2$
$h = 68$ см
$\rho_{\text{в}} = 1000$ кг/м$^3$ (плотность воды)
$\rho_{\text{рт}} = 13600$ кг/м$^3$ (плотность ртути)

СИ:

$h = 0,68$ м

Найти:

$\Delta h_1$ — изменение уровня ртути в широком сосуде.

Решение:

1. Пусть $D_1$ — диаметр широкого сосуда, а $D_2$ — диаметр узкого. По условию $D_1 = n D_2$. Площадь поперечного сечения сосуда пропорциональна квадрату диаметра ($S = \frac{\pi D^2}{4}$), следовательно, площадь широкого сосуда $S_1$ связана с площадью узкого $S_2$ соотношением:
$$S_1 = n^2 S_2$$
Для $n=2$ получаем $S_1 = 4 S_2$.

2. Когда в узкий сосуд наливают воду, уровень ртути в нем понижается на $\Delta h_2$, а вытесненная ртуть переходит в широкий сосуд, где ее уровень повышается на искомую величину $\Delta h_1$. Так как ртуть несжимаема, объем вытесненной из узкого сосуда ртути равен объему ртути, поднявшейся в широком:
$$S_2 \cdot \Delta h_2 = S_1 \cdot \Delta h_1$$
Подставим выражение для площади $S_1$:
$$S_2 \cdot \Delta h_2 = n^2 S_2 \cdot \Delta h_1 \Rightarrow \Delta h_2 = n^2 \Delta h_1$$

3. Рассмотрим условие равновесия жидкостей. Давления в обоих сосудах на уровне нижней границы слоя воды (интерфейс «вода-ртуть» в узком сосуде) должны быть равны.
В узком сосуде давление создает столб воды высотой $\text{h}$:
$$P_{\text{узк}} = \rho_{\text{в}} g h$$
В широком сосуде на этом же горизонтальном уровне давление создает столб ртути. Высота этого столба складывается из величины подъема уровня в широком сосуде ($\Delta h_1$) и величины опускания уровня в узком ($\Delta h_2$) относительно начального положения равновесия:
$$P_{\text{шир}} = \rho_{\text{рт}} g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$$

4. Приравняем давления:
$$\rho_{\text{в}} g h = \rho_{\text{рт}} g (\Delta h_1 + \Delta h_2)$$
Сократим на $\text{g}$ и подставим $\Delta h_2 = n^2 \Delta h_1$:
$$\rho_{\text{в}} h = \rho_{\text{рт}} (\Delta h_1 + n^2 \Delta h_1)$$
$$\rho_{\text{в}} h = \rho_{\text{рт}} \Delta h_1 (1 + n^2)$$

5. Выразим $\Delta h_1$:
$$\Delta h_1 = \frac{\rho_{\text{в}} h}{\rho_{\text{рт}} (1 + n^2)}$$

6. Подставим числовые значения:
$$\Delta h_1 = \frac{1000 \cdot 0,68}{13600 \cdot (1 + 2^2)} = \frac{680}{13600 \cdot 5} = \frac{680}{68000} = 0,01 \text{ м}$$
Переведем результат в сантиметры:
$0,01 \text{ м} = 1 \text{ см}$.

Ответ: $\text{1}$ см.