Номер 348, страница 90 - гдз по физике 7 класс сборник задач Исаченкова, Гладков

Дано:

Соотношение площадей: $S_2 = 4S_1$

Высота столба керосина: $h_1 = 20,0 \text{ см}$

Плотность воды (табличное значение): $ρ_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность керосина (табличное значение): $ρ_к = 800 \text{ кг/м}^3$

$h_1 = 0,2 \text{ м}$

Найти:

$Δh_{шир}$ - ?

$Δh_{узк}$ - ?

Решение:

Обозначим площадь поперечного сечения узкого цилиндра как $S_1$, а широкого — как $S_2$. По условию $S_2 = 4S_1$.

Когда в узкий цилиндр наливают керосин, он давит на воду. В результате уровень воды в узком цилиндре опускается на величину $Δh_{узк}$, а в широком — поднимается на величину $Δh_{шир}$.

Объем воды, который ушел из узкого цилиндра, равен объему воды, который пришел в широкий цилиндр, так как вода — несжимаемая жидкость. Это условие сохранения объема можно записать в виде:

$V_{ушедшей} = V_{прибывшей}$

$S_1 \cdot Δh_{узк} = S_2 \cdot Δh_{шир}$

Подставим в это уравнение соотношение площадей $S_2 = 4S_1$:

$S_1 \cdot Δh_{узк} = 4S_1 \cdot Δh_{шир}$

Сократив $S_1$, получим связь между изменениями уровней:

$Δh_{узк} = 4Δh_{шир} \quad (1)$

Далее воспользуемся законом сообщающихся сосудов. Давление на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся жидкости должно быть одинаковым. Выберем в качестве такого уровня границу раздела воды и керосина в узком сосуде.

В левом (узком) колене давление на этом уровне создается столбом керосина высотой $h_1$ (и атмосферным давлением).

$p_1 = p_{атм} + ρ_к g h_1$

В правом (широком) колене на этом же уровне давление создается столбом воды (и атмосферным давлением). Высота этого столба воды равна сумме понижения уровня в узком сосуде и повышения в широком: $h_{воды} = Δh_{узк} + Δh_{шир}$.

$p_2 = p_{атм} + ρ_в g (Δh_{узк} + Δh_{шир})$

Приравниваем давления $p_1 = p_2$ и сокращаем атмосферное давление $p_{атм}$ и ускорение свободного падения $\text{g}$:

$ρ_к h_1 = ρ_в (Δh_{узк} + Δh_{шир}) \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2). Подставим выражение для $Δh_{узк}$ из уравнения (1) в уравнение (2):

$ρ_к h_1 = ρ_в (4Δh_{шир} + Δh_{шир})$

$ρ_к h_1 = ρ_в \cdot 5Δh_{шир}$

Теперь мы можем найти искомые величины.

На сколько увеличился уровень воды в широком цилиндре

Из последнего уравнения выразим $Δh_{шир}$ и подставим числовые значения:

$Δh_{шир} = \frac{ρ_к h_1}{5ρ_в} = \frac{800 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,2 \text{ м}}{5 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3} = \frac{160}{5000} \text{ м} = 0,032 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $0,032 \text{ м} = 3,2 \text{ см}$.

Ответ: 3,2 см.

и на сколько уменьшился в узком цилиндре

Теперь, используя соотношение (1), найдем $Δh_{узк}$:

$Δh_{узк} = 4Δh_{шир} = 4 \cdot 3,2 \text{ см} = 12,8 \text{ см}$

Ответ: 12,8 см.