Номер 10, страница 59 - гдз по физике 7 класс тесты Шабусов, Батурчик

10. В левое колено сообщающихся сосудов, заполненных ртутью $(\rho_0 = 13600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})$, налили столб воды $(\rho_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})$ высотой $h_1 = 20$ см и столб глицерина $(\rho_2 = 1200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})$ высотой $h_2 = 40$ см.

Определите разность высот $\Delta h$ жидкостей в сосудах.

Ответ: ____ см.

Дано:

Плотность ртути $ \rho_0 = 13600 \frac{кг}{м^3} $
Плотность воды $ \rho_1 = 1000 \frac{кг}{м^3} $
Высота столба воды $ h_1 = 20 \text{ см} $
Плотность глицерина $ \rho_2 = 1200 \frac{кг}{м^3} $
Высота столба глицерина $ h_2 = 40 \text{ см} $

Выполним перевод данных в систему СИ:
$ h_1 = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м} $
$ h_2 = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м} $

Найти:

$ \Delta h $

Решение:

В сообщающихся сосудах давление на любом горизонтальном уровне внутри однородной покоящейся жидкости одинаково. За уровень отсчета примем границу раздела между ртутью и налитыми в левое колено жидкостями (водой и глицерином).

В левом колене на этот уровень давит столб воды высотой $h_1$ и столб глицерина высотой $h_2$. В правом колене это давление уравновешивается избыточным столбом ртути некоторой высоты $h_0$. Таким образом, $h_0$ представляет собой разность уровней ртути в левом и правом коленах.

Запишем условие равенства гидростатических давлений, создаваемых этими столбами жидкостей (атмосферное давление одинаково для обоих колен и его можно не учитывать):

$ p_1 + p_2 = p_0 $

где $p_1$, $p_2$, $p_0$ — давления столбов воды, глицерина и ртути соответственно.

Расписывая давления по формуле $ p = \rho g h $, получаем:

$ \rho_1 g h_1 + \rho_2 g h_2 = \rho_0 g h_0 $

Сократим обе части уравнения на ускорение свободного падения $\text{g}$:

$ \rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 = \rho_0 h_0 $

Из этого уравнения выразим высоту избыточного столба ртути $h_0$:

$ h_0 = \frac{\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2}{\rho_0} $

Подставим числовые значения в системе СИ:

$ h_0 = \frac{1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.2 \text{ м} + 1200 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.4 \text{ м}}{13600 \frac{кг}{м^3}} = \frac{200 \frac{кг}{м^2} + 480 \frac{кг}{м^2}}{13600 \frac{кг}{м^3}} = \frac{680 \frac{кг}{м^2}}{13600 \frac{кг}{м^3}} = 0.05 \text{ м} $

Искомая разность высот жидкостей в сосудах $ \Delta h $ — это разность между высотой поверхности жидкости в левом колене и высотой поверхности жидкости (ртути) в правом колене.

Высота столба жидкостей в левом колене (относительно уровня ртути в этом же колене) равна $ H_L = h_1 + h_2 $.

Высота столба ртути в правом колене (относительно уровня ртути в левом колене) равна $ H_R = h_0 $.

Следовательно, разность высот равна:

$ \Delta h = H_L - H_R = (h_1 + h_2) - h_0 $

Вычислим $ \Delta h $:

$ \Delta h = (0.2 \text{ м} + 0.4 \text{ м}) - 0.05 \text{ м} = 0.6 \text{ м} - 0.05 \text{ м} = 0.55 \text{ м} $

Переведем полученное значение в сантиметры:

$ \Delta h = 0.55 \text{ м} = 55 \text{ см} $

Ответ: 55 см.