Номер 9, страница 59 - гдз по физике 7 класс тесты Шабусов, Батурчик

9. Алиса опустила в озеро перпендикулярно поверхности воды ($\rho_2 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$) длинную стеклянную трубку (рис. 4), в которую налила масло ($\rho_1 = 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$) высотой $h_1 = 40$ см. Определите разность высоты $\Delta h$ жидкости в трубке и в озере.

Ответ: ____ мм.

Рис. 4

Дано:

$ \rho_1 = 900 \frac{кг}{м^3} $ (плотность масла)

$ \rho_2 = 1000 \frac{кг}{м^3} $ (плотность воды)

$ h_1 = 40 \text{ см} $

Перевод в систему СИ:

$ h_1 = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м} $

Найти:

$ \Delta h $

Решение:

Когда стеклянная трубка с маслом опускается в озеро, система приходит в состояние гидростатического равновесия. Давление на любом горизонтальном уровне в сообщающихся сосудах одинаково. Рассмотрим уровень границы раздела масла и воды внутри трубки.

Давление, создаваемое столбом масла высотой $h_1$ относительно нижнего конца столба, равно $p_1 = \rho_1 g h_1$.

Это давление уравновешивается давлением столба воды в озере высотой $h_2$ (отсчитываемой от уровня воды в озере до границы раздела жидкостей в трубке). Давление столба воды равно $p_2 = \rho_2 g h_2$.

Так как поверхности жидкостей в трубке и в озере открыты, атмосферное давление действует на них одинаково и его можно не учитывать при рассмотрении гидростатического давления.

Приравняем давления на уровне границы раздела жидкостей:

$p_1 = p_2$

$\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$

Сократив на $\text{g}$, получим:

$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2$

Из этого соотношения можно выразить высоту $h_2$ — часть столба масла, находящуюся ниже уровня воды в озере:

$h_2 = \frac{\rho_1 h_1}{\rho_2}$

Согласно рисунку, общая высота столба масла $h_1$ состоит из двух частей: части $h_2$, которая находится ниже уровня воды в озере, и части $\Delta h$, которая находится выше уровня воды в озере.

$h_1 = \Delta h + h_2$

Отсюда искомая разность высот $\Delta h$ равна:

$\Delta h = h_1 - h_2$

Подставим выражение для $h_2$ в эту формулу:

$\Delta h = h_1 - \frac{\rho_1 h_1}{\rho_2} = h_1 \left(1 - \frac{\rho_1}{\rho_2}\right)$

Теперь выполним вычисления, подставив числовые значения:

$\Delta h = 0.4 \text{ м} \cdot \left(1 - \frac{900 \frac{кг}{м^3}}{1000 \frac{кг}{м^3}}\right) = 0.4 \text{ м} \cdot (1 - 0.9) = 0.4 \text{ м} \cdot 0.1 = 0.04 \text{ м}$

В задаче требуется указать ответ в миллиметрах. Переведем метры в миллиметры:

$0.04 \text{ м} = 0.04 \cdot 1000 \text{ мм} = 40 \text{ мм}$

Ответ: 40 мм.