Номер 485, страница 93 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

$L_м = L_{ал} = L$ (длины проволок одинаковы)

$S_м = S_{ал} = S$ (площади поперечного сечения одинаковы)

$t_0 = 10 \, \text{°C}$ (начальная температура)

Физические свойства меди (м):

Удельное сопротивление: $\rho_м = 1.7 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$

Плотность: $d_м = 8900 \, \text{кг/м}^3$

Удельная теплоемкость: $c_м = 385 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{°C)}$

Температура плавления: $t_{пл.м} = 1083 \, \text{°C}$

Физические свойства алюминия (ал):

Удельное сопротивление: $\rho_{ал} = 2.8 \cdot 10^{-8} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$

Плотность: $d_{ал} = 2700 \, \text{кг/м}^3$

Удельная теплоемкость: $c_{ал} = 920 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{°C)}$

Температура плавления: $t_{пл.ал} = 660 \, \text{°C}$

Найти:

1. Какая проволока перегорит при параллельном соединении.

2. Какая проволока перегорит при последовательном соединении.

Решение:

Проволока перегорает, когда ее температура достигает температуры плавления. Та проволока, которая нагреется до своей температуры плавления за меньшее время $\Delta t$, перегорит первой.

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для нагрева проволоки от начальной температуры $t_0$ до температуры плавления $t_{пл}$, рассчитывается по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot (t_{пл} - t_0)$

Массу проволоки $\text{m}$ можно выразить через ее плотность $\text{d}$, длину $\text{L}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$:

$m = d \cdot V = d \cdot L \cdot S$

Следовательно, количество теплоты для нагрева равно:

$Q = c \cdot d \cdot L \cdot S \cdot (t_{пл} - t_0)$

Согласно закону Джоуля-Ленца, при прохождении тока в проводнике выделяется теплота. Мощность тепловыделения $\text{P}$ связана с количеством теплоты $Q_{ген}$ и временем $\Delta t$ как $Q_{ген} = P \cdot \Delta t$. Так как по условию потерями тепла можно пренебречь, вся выделяемая теплота идет на нагрев проволоки: $Q_{ген} = Q$.

$P \cdot \Delta t = c \cdot d \cdot L \cdot S \cdot (t_{пл} - t_0)$

Отсюда можно выразить время, необходимое для нагрева проволоки до плавления:

$\Delta t = \frac{c \cdot d \cdot L \cdot S \cdot (t_{пл} - t_0)}{P}$

Сопротивление проволоки $\text{R}$ определяется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

Рассмотрим оба варианта соединения.

Параллельное соединение

При параллельном соединении напряжение $\text{U}$ на концах обеих проволок одинаково. Мощность, выделяемая в каждой проволоке, определяется как:

$P = \frac{U^2}{R} = \frac{U^2}{\rho L/S} = \frac{U^2 S}{\rho L}$

Подставим это выражение для мощности в формулу для времени $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{c \cdot d \cdot L \cdot S \cdot (t_{пл} - t_0)}{U^2 S / (\rho L)} = \frac{c \cdot d \cdot \rho \cdot L^2 \cdot (t_{пл} - t_0)}{U^2}$

Чтобы определить, какая проволока перегорит первой, необходимо сравнить времена $\Delta t_м$ и $\Delta t_{ал}$. Множитель $L^2/U^2$ является общим для обеих проволок, поэтому сравнение сводится к сравнению величины $K = c \cdot d \cdot \rho \cdot (t_{пл} - t_0)$ для меди и алюминия. Проволока с меньшим значением $\text{K}$ перегорит быстрее.

Для меди:

$\Delta t_{м} = t_{пл.м} - t_0 = 1083 \, \text{°C} - 10 \, \text{°C} = 1073 \, \text{°C}$

$K_м = c_м \cdot d_м \cdot \rho_м \cdot \Delta t_{м} = 385 \cdot 8900 \cdot (1.7 \cdot 10^{-8}) \cdot 1073 \approx 62.5$

Для алюминия:

$\Delta t_{ал} = t_{пл.ал} - t_0 = 660 \, \text{°C} - 10 \, \text{°C} = 650 \, \text{°C}$

$K_{ал} = c_{ал} \cdot d_{ал} \cdot \rho_{ал} \cdot \Delta t_{ал} = 920 \cdot 2700 \cdot (2.8 \cdot 10^{-8}) \cdot 650 \approx 45.2$

Поскольку $K_{ал} < K_м$ (45.2 < 62.5), время нагрева алюминиевой проволоки до температуры плавления меньше, чем для медной ($\Delta t_{ал} < \Delta t_м$).

Ответ: При параллельном соединении перегорит алюминиевая проволока.

Последовательное соединение

При последовательном соединении сила тока $\text{I}$ в обеих проволоках одинакова. Мощность, выделяемая в каждой проволоке, равна:

$P = I^2 R = I^2 \rho \frac{L}{S}$

Подставим это выражение для мощности в формулу для времени $\Delta t$:

$\Delta t = \frac{c \cdot d \cdot L \cdot S \cdot (t_{пл} - t_0)}{I^2 \rho L/S} = \frac{c \cdot d \cdot S^2 \cdot (t_{пл} - t_0)}{I^2 \rho}$

Чтобы определить, какая проволока перегорит первой, нужно сравнить времена $\Delta t_м$ и $\Delta t_{ал}$. Множитель $S^2/I^2$ является общим, поэтому сравнение сводится к сравнению величины $K' = \frac{c \cdot d \cdot (t_{пл} - t_0)}{\rho}$ для меди и алюминия. Проволока с меньшим значением $K'$ перегорит быстрее.

Для меди:

$K'_м = \frac{c_м \cdot d_м \cdot \Delta t_{м}}{\rho_м} = \frac{385 \cdot 8900 \cdot 1073}{1.7 \cdot 10^{-8}} \approx 2.16 \cdot 10^{17}$

Для алюминия:

$K'_{ал} = \frac{c_{ал} \cdot d_{ал} \cdot \Delta t_{ал}}{\rho_{ал}} = \frac{920 \cdot 2700 \cdot 650}{2.8 \cdot 10^{-8}} \approx 0.58 \cdot 10^{17}$

Поскольку $K'_{ал} < K'_м$ ($0.58 \cdot 10^{17} < 2.16 \cdot 10^{17}$), время нагрева алюминиевой проволоки до температуры плавления меньше, чем для медной ($\Delta t_{ал} < \Delta t_м$).

Ответ: При последовательном соединении перегорит алюминиевая проволока.