Номер 617, страница 113 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

$α = 120°$

$SA = 20$ см

$SA = 0.2$ м

Найти:

$S_1S_2$ - ?

Решение:

Изображение точечного источника света $\text{S}$ в плоском зеркале является мнимым и расположено симметрично источнику относительно плоскости зеркала. Обозначим вершину угла, образованного зеркалами, как точку $\text{O}$. Пусть $S_1$ — изображение источника в первом зеркале, а $S_2$ — во втором.

Из свойства симметрии следует, что расстояние от любой точки на зеркале до источника равно расстоянию до его изображения. В частности, расстояние от вершины $\text{O}$ до источника $\text{S}$ равно расстоянию от $\text{O}$ до изображений $S_1$ и $S_2$:

$OS = OS_1 = OS_2 = R$

Таким образом, точки $S_1$ и $S_2$ лежат на окружности радиуса $\text{R}$ с центром в точке $\text{O}$. Мы ищем длину хорды $S_1S_2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OSA$, где $\text{SA}$ — перпендикуляр, опущенный из источника $\text{S}$ на одно из зеркал. Поскольку источник $\text{S}$ находится на биссектрисе угла $α$, угол между линией $\text{OS}$ и зеркалом составляет $∠SOA = α/2$. Из этого треугольника можем найти радиус $\text{R}$:

$\sin(∠SOA) = \frac{SA}{OS}$

$\sin(\frac{α}{2}) = \frac{SA}{R} \implies R = \frac{SA}{\sin(\frac{α}{2})}$

Теперь найдем угол $∠S_1OS_2$ в равнобедренном треугольнике $S_1OS_2$. Зеркало является биссектрисой угла между лучом, идущим от вершины к источнику ($\text{OS}$), и лучом, идущим от вершины к изображению ($OS_1$). Угол между лучом $\text{OS}$ и первым зеркалом равен $α/2$. Следовательно, угол $∠S_1OS$ равен $2 \cdot (α/2) = α$. Аналогично, угол $∠S_2OS = α$.

Так как изображения $S_1$ и $S_2$ находятся по разные стороны от биссектрисы $\text{OS}$, угол между лучами $OS_1$ и $OS_2$ будет равен сумме углов $∠S_1OS$ и $∠S_2OS$. Однако, это формирует угол, который может быть больше $180°$. Угол внутри треугольника $S_1OS_2$, обозначим его $γ$, будет $γ = 360° - 2α$, если $2α > 180°$, и $γ = 2α$, если $2α \le 180°$.

В нашем случае $α=120°$, поэтому $2α = 240° > 180°$. Значит, угол при вершине треугольника $S_1OS_2$ равен:

$γ = 360° - 240° = 120°$

Теперь найдем расстояние $S_1S_2$ по теореме косинусов для треугольника $S_1OS_2$:

$S_1S_2^2 = OS_1^2 + OS_2^2 - 2 \cdot OS_1 \cdot OS_2 \cdot \cos(γ)$

$S_1S_2^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(γ) = 2R^2(1 - \cos(γ))$

Подставим выражение для $\text{R}$:

$S_1S_2^2 = 2 \left( \frac{SA}{\sin(\frac{α}{2})} \right)^2 (1 - \cos(γ))$

Теперь подставим числовые значения:

$R = \frac{20 \text{ см}}{\sin(120°/2)} = \frac{20 \text{ см}}{\sin(60°)} = \frac{20}{\sqrt{3}/2} = \frac{40}{\sqrt{3}}$ см.

$S_1S_2^2 = 2 \cdot \left( \frac{40}{\sqrt{3}} \right)^2 \cdot (1 - \cos(120°)) = 2 \cdot \frac{1600}{3} \cdot (1 - (-\frac{1}{2})) = 2 \cdot \frac{1600}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1600$ см$^2$.

$S_1S_2 = \sqrt{1600 \text{ см}^2} = 40$ см.

Ответ: расстояние между изображениями источника в зеркалах составляет 40 см.