Номер 8, страница 49 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Постройте графики уравнений системы $\begin{cases} 3x + y = 5, \\ y - x^2 = 1 \end{cases}$ и найдите сумму ординат точек пересечения.

Задача состоит из двух частей: построение графиков и нахождение суммы ординат точек их пересечения. Выполним их последовательно.

1. Построение графиков уравнений

Рассмотрим первое уравнение: $3x + y = 5$. Это линейное уравнение, его график — прямая. Чтобы было удобнее строить, выразим $y$ через $x$:

$y = -3x + 5$

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек.
- При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 + 5 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- При $x = 2$, $y = -3 \cdot 2 + 5 = -1$. Точка $(2, -1)$.

Рассмотрим второе уравнение: $y - x^2 = 1$. Это квадратичное уравнение, его график — парабола. Выразим $y$ через $x$:

$y = x^2 + 1$

Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси $y$. Ее вершина находится в точке $(0, 1)$, а ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем еще несколько точек:
- При $x = 1$, $y = 1^2 + 1 = 2$. Точка $(1, 2)$.
- При $x = -1$, $y = (-1)^2 + 1 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
- При $x = 2$, $y = 2^2 + 1 = 5$. Точка $(2, 5)$.

Построив эти графики в одной системе координат, мы можем визуально определить, что они пересекаются в двух точках.

2. Нахождение суммы ординат точек пересечения

Координаты точек пересечения являются решением системы уравнений. Решим ее аналитически.

$$ \begin{cases} 3x + y = 5 \\ y - x^2 = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y = 5 - 3x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$(5 - 3x) - x^2 = 1$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$-x^2 - 3x + 5 - 1 = 0$

$-x^2 - 3x + 4 = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$x^2 + 3x - 4 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Мы нашли абсциссы точек пересечения. Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив $x_1$ и $x_2$ в любое из уравнений системы. Удобнее использовать $y = x^2 + 1$.

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 + 1 = 2$

Для $x_2 = -4$:

$y_2 = (-4)^2 + 1 = 16 + 1 = 17$

Итак, точки пересечения графиков имеют координаты $(1, 2)$ и $(-4, 17)$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти сумму ординат (координат $y$) этих точек:

$y_1 + y_2 = 2 + 17 = 19$

Ответ: 19