Номер 6, страница 48 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Разность длин гипотенузы и катета, лежащего в данном треугольнике против угла в $30^\circ$, равна 12 см. Найдите длину окружности, описанной около треугольника.

Поскольку в условии задачи говорится о гипотенузе и катете, речь идет о прямоугольном треугольнике. Пусть один из его острых углов равен $30^{\circ}$.

Обозначим длину гипотенузы как $c$, а длину катета, лежащего против угла в $30^{\circ}$, как $a$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. Это можно записать в виде формулы:

$a = \frac{c}{2}$

По условию задачи, разность длин гипотенузы и этого катета составляет 12 см:

$c - a = 12$

Мы получили систему из двух уравнений. Подставим выражение для $a$ из первого уравнения во второе:

$c - \frac{c}{2} = 12$

Решим это уравнение относительно $c$:

$\frac{2c - c}{2} = 12$

$\frac{c}{2} = 12$

$c = 24$ см.

Таким образом, длина гипотенузы треугольника равна 24 см.

Теперь найдем длину окружности, описанной около этого треугольника. Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

Подставим найденное значение $c$:

$R = \frac{24}{2} = 12$ см.

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле:

$L = 2\pi R$

Подставим значение радиуса $R$:

$L = 2\pi \cdot 12 = 24\pi$ см.

Ответ: $24\pi$ см.