Номер 10, страница 49 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. $CK$ — медиана треугольника $ABC$, площадь которого $240 \text{ см}^2$. Точка $E$ — середина медианы $CK$. Луч $AE$ пересекает сторону $BC$ в точке $M$. Найдите площадь четырехугольника $KEMB$.

Поскольку CK — медиана треугольника ABC, она делит его на два треугольника с равными площадями: треугольник ACK и треугольник BCK.

Площадь каждого из этих треугольников равна половине площади треугольника ABC:

$S_{BCK} = S_{ACK} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{240}{2} = 120$ см².

Площадь искомого четырехугольника KEMB можно найти как разность площадей треугольника BCK и треугольника CEM:

$S_{KEMB} = S_{BCK} - S_{CEM}$

Для нахождения площади треугольника CEM необходимо определить положение точки M на стороне BC. Воспользуемся теоремой Менелая для треугольника CBK и секущей AM.

Согласно теореме Менелая, для точек A, E, M, лежащих на одной прямой и пересекающих стороны треугольника CBK (или их продолжения), выполняется соотношение:

$\frac{CM}{MB} \cdot \frac{BA}{AK} \cdot \frac{KE}{EC} = 1$

Проанализируем известные соотношения из условия задачи:

1. CK — медиана, значит, точка K является серединой стороны AB. Следовательно, $BA = 2 \cdot AK$, и отношение $\frac{BA}{AK} = 2$.

2. E — середина медианы CK. Следовательно, $KE = EC$, и отношение $\frac{KE}{EC} = 1$.

Подставим эти значения в формулу теоремы Менелая:

$\frac{CM}{MB} \cdot 2 \cdot 1 = 1$

Отсюда находим отношение, в котором точка M делит сторону BC:

$\frac{CM}{MB} = \frac{1}{2}$

Это означает, что $MB = 2 \cdot CM$, а вся сторона $BC = CM + MB = CM + 2CM = 3CM$. Таким образом, $CM = \frac{1}{3} BC$.

Теперь найдем площадь треугольника CKM. Треугольники CKM и CBK имеют общую высоту, проведенную из вершины K. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{CKM}}{S_{CBK}} = \frac{CM}{CB} = \frac{1}{3}$

$S_{CKM} = \frac{1}{3} S_{CBK} = \frac{1}{3} \cdot 120 = 40$ см².

Рассмотрим треугольник CKM. Отрезок ME соединяет вершину M с серединой противоположной стороны CK (точкой E). Таким образом, ME является медианой треугольника CKM.

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому:

$S_{CEM} = \frac{1}{2} S_{CKM} = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$ см².

Наконец, вычисляем площадь четырехугольника KEMB:

$S_{KEMB} = S_{BCK} - S_{CEM} = 120 - 20 = 100$ см².

Ответ: 100 см².