Номер 7, страница 51 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите площадь треугольника со сторонами 9 см, 12 см и 15 см.

Для нахождения площади треугольника с заданными сторонами можно воспользоваться формулой Герона. Это универсальный метод, подходящий для любого треугольника.

Стороны треугольника равны $a = 9 \text{ см}$, $b = 12 \text{ см}$ и $c = 15 \text{ см}$.

Формула Герона имеет вид: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ – полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+12+15}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см}$.

Теперь подставим все значения в формулу Герона для вычисления площади $S$:

$S = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 3} = \sqrt{2916} = 54 \text{ см}^2$.

Также для решения этой задачи можно применить другой, более простой в данном случае, способ. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора: если сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей стороны ($a^2 + b^2 = c^2$), то треугольник прямоугольный.

Вычислим квадраты сторон:

$9^2 = 81$

$12^2 = 144$

$15^2 = 225$

Проверим равенство:

$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$

Поскольку $225 = 15^2$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник является прямоугольным. Его катеты равны $9 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$, а гипотенуза равна $15 \text{ см}$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{108}{2} = 54 \text{ см}^2$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $54 \text{ см}^2$.