Номер 10, страница 51 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $K$, $AK = 2$, $KB = 6$, $DK = 3$. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Для нахождения площади круга необходимо определить его радиус $R$, так как площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

1. Нахождение длины отрезка CK
Воспользуемся свойством пересекающихся хорд в окружности. Согласно этому свойству, произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению длин отрезков другой хорды.
$AK \cdot KB = CK \cdot DK$
Подставим в формулу известные значения из условия задачи: $AK = 2$, $KB = 6$, $DK = 3$.
$2 \cdot 6 = CK \cdot 3$
$12 = 3 \cdot CK$
Отсюда находим длину отрезка $CK$:
$CK = \frac{12}{3} = 4$.

2. Нахождение радиуса окружности R
Существует несколько способов найти радиус. Рассмотрим один из них, основанный на теореме Пифагора.
Пусть $O$ — центр окружности. Проведем из центра перпендикуляры $OM$ к хорде $AB$ и $ON$ к хорде $CD$. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.
Вычислим длины хорд:
$AB = AK + KB = 2 + 6 = 8$. Точка $M$ является серединой $AB$, поэтому $AM = MB = \frac{8}{2} = 4$.
$CD = CK + DK = 4 + 3 = 7$. Точка $N$ является серединой $CD$, поэтому $CN = ND = \frac{7}{2} = 3.5$.
Рассмотрим четырехугольник $OMKN$. Так как по условию $AB \perp CD$, а по построению $OM \perp AB$ и $ON \perp CD$, то все углы этого четырехугольника прямые, следовательно, $OMKN$ — прямоугольник.
Длины сторон этого прямоугольника можно найти следующим образом:
$ON = MK = |AM - AK| = |4 - 2| = 2$.
$OM = NK = |DN - DK| = |3.5 - 3| = 0.5$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. Его катеты — $OM$ и $AM$, а гипотенуза $OA$ равна радиусу окружности $R$. По теореме Пифагора:
$R^2 = OA^2 = OM^2 + AM^2$
$R^2 = (0.5)^2 + 4^2 = 0.25 + 16 = 16.25$.
Для проверки можно воспользоваться свойством: сумма квадратов отрезков двух взаимно перпендикулярных хорд равна квадрату диаметра. $AK^2 + KB^2 + CK^2 + DK^2 = 4R^2$. $2^2+6^2+4^2+3^2 = 4+36+16+9 = 65$. $4R^2=65$, $R^2 = 65/4 = 16.25$. Результат совпадает.

3. Вычисление площади круга
Теперь, когда известен квадрат радиуса $R^2 = 16.25$, мы можем найти площадь круга.
$S = \pi R^2 = 16.25\pi$.
Значение $16.25$ можно представить в виде обыкновенной дроби: $16.25 = 16\frac{1}{4} = \frac{65}{4}$.
Таким образом, площадь круга равна $S = \frac{65}{4}\pi$.

Ответ: $16.25\pi$.