Номер 9, страница 51 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Бобруйскому заводу тракторных деталей и агрегатов поступил заказ на изготовление 800 малогабаритных прицепов для трактора к определенному сроку. Работая точно по графику, рабочие выполнили $25\%$ заказа, а затем стали собирать на 10 прицепов больше и выполнили заказ за 2 дня до назначенного срока. За сколько дней рабочие выполнили заказ?

Пусть $x$ — плановая производительность рабочих (количество прицепов, изготавливаемых в день).

Тогда плановый срок выполнения всего заказа в 800 прицепов составляет $T = \frac{800}{x}$ дней.

На первом этапе рабочие, работая по графику, выполнили 25% заказа.

Объем работы на первом этапе: $800 \cdot 0.25 = 200$ прицепов.

Время, затраченное на первый этап: $t_1 = \frac{200}{x}$ дней.

На втором этапе рабочие стали собирать на 10 прицепов в день больше, то есть их производительность стала $x+10$ прицепов в день.

Оставшаяся часть заказа: $800 - 200 = 600$ прицепов.

Время, затраченное на второй этап: $t_2 = \frac{600}{x+10}$ дней.

Общее время, за которое рабочие выполнили весь заказ, равно сумме времени двух этапов: $t_{факт} = t_1 + t_2 = \frac{200}{x} + \frac{600}{x+10}$.

По условию задачи, заказ был выполнен за 2 дня до назначенного срока, то есть фактическое время выполнения составило $T - 2$ дня.

Составим уравнение, приравняв два выражения для фактического времени: $\frac{200}{x} + \frac{600}{x+10} = \frac{800}{x} - 2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую, чтобы упростить уравнение: $2 = \frac{800}{x} - \frac{200}{x} - \frac{600}{x+10}$ $2 = \frac{600}{x} - \frac{600}{x+10}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $x(x+10)$: $2 = \frac{600(x+10) - 600x}{x(x+10)}$ $2 = \frac{600x + 6000 - 600x}{x^2 + 10x}$ $2 = \frac{6000}{x^2 + 10x}$

Умножим обе части на $x^2 + 10x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -10$, что выполняется по смыслу задачи): $2(x^2 + 10x) = 6000$

Разделим обе части на 2: $x^2 + 10x = 3000$ $x^2 + 10x - 3000 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$ $\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Поскольку производительность $x$ не может быть отрицательной величиной, нам подходит только корень $x_1 = 50$.

Таким образом, плановая производительность составляла 50 прицепов в день.

Вопрос задачи — за сколько дней рабочие выполнили заказ. Для этого нужно найти фактическое время работы.

Время первого этапа: $t_1 = \frac{200}{x} = \frac{200}{50} = 4$ дня.

Время второго этапа: $t_2 = \frac{600}{x+10} = \frac{600}{50+10} = \frac{600}{60} = 10$ дней.

Общее время выполнения заказа: $t_{факт} = t_1 + t_2 = 4 + 10 = 14$ дней.

Ответ: 14 дней.