Номер 8, страница 51 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Найдите частное $a$ и $b$, если $a = 3^6 \cdot (5^{-1})^{-2} \cdot \frac{1}{4^{-2}}$

и $b = 3^8 \cdot 5^3 \cdot \frac{1}{4^{-1}}$.

Для нахождения частного $a$ и $b$ необходимо вычислить значение выражения $\frac{a}{b}$.

Сначала упростим выражение для $a$, используя свойства степеней:

$a = 3^6 \cdot (5^{-1})^{-2} \cdot \frac{1}{4^{-2}}$

Применим свойства $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$.

$(5^{-1})^{-2} = 5^{(-1) \cdot (-2)} = 5^2$

$\frac{1}{4^{-2}} = 4^2$

Следовательно, выражение для $a$ примет вид:

$a = 3^6 \cdot 5^2 \cdot 4^2$

Теперь упростим выражение для $b$:

$b = 3^8 \cdot 5^3 \cdot \frac{1}{4^{-1}}$

Применим свойство $\frac{1}{x^{-n}} = x^n$:

$\frac{1}{4^{-1}} = 4^1 = 4$

Следовательно, выражение для $b$ примет вид:

$b = 3^8 \cdot 5^3 \cdot 4$

Теперь найдем частное $\frac{a}{b}$, разделив упрощенное выражение для $a$ на упрощенное выражение для $b$:

$\frac{a}{b} = \frac{3^6 \cdot 5^2 \cdot 4^2}{3^8 \cdot 5^3 \cdot 4}$

Используем свойство частного степеней с одинаковым основанием $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

$\frac{a}{b} = 3^{6-8} \cdot 5^{2-3} \cdot 4^{2-1} = 3^{-2} \cdot 5^{-1} \cdot 4^1$

Используя определение степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, получаем конечный результат:

$\frac{a}{b} = \frac{1}{3^2} \cdot \frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{5} \cdot 4 = \frac{4}{45}$

Ответ: $\frac{4}{45}$.