Номер 3, страница 50 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) через точку, лежащую на окружности, можно провести только одну касательную к этой окружности;

б) площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов;

в) если два угла одного треугольника равны 20° и 80°, другого — 80° и 20°, то треугольники подобны между собой;

г) $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ?

а) Это утверждение является основной теоремой о касательных к окружности. Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Через любую точку на окружности можно провести единственную прямую, перпендикулярную радиусу, проведенному в эту точку. Эта прямая является касательной. Следовательно, утверждение верно. Ответ: верно.

б) Площадь любого треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. В прямоугольном треугольнике катеты $a$ и $b$ взаимно перпендикулярны. Если один катет принять за основание, то второй будет высотой. Тогда площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2}ab$. Утверждение, что площадь равна произведению катетов ($S = ab$), является неверным, так как в формуле пропущен множитель $\frac{1}{2}$. Ответ: неверно.

в) Данное утверждение проверяется с помощью первого признака подобия треугольников (по двум углам). Согласно этому признаку, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. У первого треугольника даны углы 20° и 80°, у второго — 80° и 20°. Так как два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Утверждение верно. Ответ: верно.

г) Это табличное значение косинуса для угла 30°. Его можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник с углами 30°, 60° и 90°. В таком треугольнике отношение прилежащего к углу 30° катета к гипотенузе равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, равенство $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ является верным. Ответ: верно.

Таким образом, единственным неверным утверждением является утверждение б).