Номер 9, страница 49 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Три числа, дающие в сумме 18, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если от первого числа вычесть 2, от второго вычесть 3, а третье число оставить без изменения, то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа.

Пусть три искомых числа, являющиеся последовательными членами арифметической прогрессии с разностью $d$, можно представить как $a-d$, $a$, $a+d$.

По условию, их сумма равна 18: $(a-d) + a + (a+d) = 18$ $3a = 18$ $a = 6$

Следовательно, искомые числа равны $6-d$, 6, $6+d$.

После выполнения указанных в условии действий (вычитание 2 из первого числа, 3 из второго, а третье без изменений), мы получаем новые числа: $b_1 = (6-d) - 2 = 4-d$ $b_2 = 6 - 3 = 3$ $b_3 = 6+d$

Эти новые числа $b_1, b_2, b_3$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседних членов: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим наши значения: $3^2 = (4-d)(6+d)$ $9 = 24 + 4d - 6d - d^2$ $9 = 24 - 2d - d^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $d^2 + 2d + 9 - 24 = 0$ $d^2 + 2d - 15 = 0$

Решим это уравнение относительно $d$. Корни можно найти, например, по теореме Виета. Произведение корней равно -15, а их сумма -2. Корнями уравнения являются $d_1 = 3$ и $d_2 = -5$. Это дает нам два возможных набора исходных чисел.

1. Если $d=3$, то исходные числа: $a_1 = 6-3 = 3$ $a_2 = 6$ $a_3 = 6+3 = 9$

Получаем набор чисел (3, 6, 9). Проверим: это арифметическая прогрессия с суммой $3+6+9=18$. Новые числа: $3-2=1$, $6-3=3$, $9$ - это геометрическая прогрессия.

2. Если $d=-5$, то исходные числа: $a_1 = 6-(-5) = 11$ $a_2 = 6$ $a_3 = 6+(-5) = 1$

Получаем набор чисел (11, 6, 1). Проверим: это арифметическая прогрессия с суммой $11+6+1=18$. Новые числа: $11-2=9$, $6-3=3$, $1$ - это геометрическая прогрессия.

Оба набора чисел удовлетворяют всем условиям задачи.

Ответ: 3, 6, 9 или 11, 6, 1.