Номер 7, страница 49 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите наименьшее целое решение неравенства

$\frac{(x-5)^2}{x^2+x-20} \le 0$.

Для решения данного дробно-рационального неравенства $ \frac{(x-5)^2}{x^2 + x - 20} \le 0 $ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю. $ x^2 + x - 20 \ne 0 $.

Решим квадратное уравнение $ x^2 + x - 20 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -20. Легко подобрать корни: $ x_1 = -5 $ и $ x_2 = 4 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne -5 $ и $ x \ne 4 $.

2. Найдём нули числителя. $ (x-5)^2 = 0 $ $ x - 5 = 0 $ $ x = 5 $.

Этот корень имеет кратность 2, так как скобка возведена в квадрат.

3. Отметим на числовой оси нули числителя и нули знаменателя. Нули знаменателя (-5 и 4) будут "выколотыми" точками, так как они не входят в ОДЗ. Нуль числителя (5) будет "закрашенной" точкой, так как неравенство нестрогое ($ \le $).

Числовая ось разбивается на интервалы: $ (-\infty; -5) $, $ (-5; 4) $, $ (4; 5) $ и $ (5; +\infty) $.

4. Определим знак выражения $ f(x) = \frac{(x-5)^2}{(x+5)(x-4)} $ на каждом интервале.

• Возьмём точку из крайнего правого интервала, например $ x=6 $. $ f(6) = \frac{(6-5)^2}{(6+5)(6-4)} = \frac{1^2}{11 \cdot 2} = \frac{1}{22} > 0 $. Знак "+".
• При переходе через точку $ x=5 $, которая является корнем чётной кратности (2), знак выражения не меняется. Значит, на интервале $ (4; 5) $ знак тоже "+".
• При переходе через точку $ x=4 $ (корень нечётной кратности 1), знак меняется на противоположный. Значит, на интервале $ (-5; 4) $ знак "-".
• При переходе через точку $ x=-5 $ (корень нечётной кратности 1), знак снова меняется. Значит, на интервале $ (-\infty; -5) $ знак "+".

5. Выберем интервалы, которые удовлетворяют условию $ f(x) \le 0 $.

Нам нужны участки со знаком "-" и точки, где выражение равно нулю.

• Выражение отрицательно ($<0$) на интервале $ (-5; 4) $.
• Выражение равно нулю ($=0$) в точке $ x=5 $.

Объединяя эти результаты, получаем множество решений: $ x \in (-5; 4) \cup \{5\} $.

6. Найдём наименьшее целое решение из полученного множества.

Целые числа, принадлежащие этому множеству: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и 5.

Наименьшим из них является -4.

Ответ: -4