Номер 10, страница 47 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. $AM$ — медиана треугольника $ABC$, площадь которого $120\text{ см}^2$. Точка $E$ — середина медианы $AM$. Луч $BE$ пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Найдите площадь четырехугольника $MEKC$.

1. Найдем площадь треугольника AMC

По условию, AM – медиана треугольника ABC. Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника. Следовательно, площадь треугольника AMC равна половине площади треугольника ABC.

$S_{AMC} = S_{AMB} = \frac{1}{2} S_{ABC}$

Так как $S_{ABC} = 120$ см², то:

$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 120 = 60$ см².

2. Найдем площади треугольников MEC и AEC

Рассмотрим треугольник AMC. Отрезок CE делит его на два треугольника: MEC и AEC. Эти два треугольника имеют общую вершину C, а их основания ME и AE лежат на одной прямой AM. По условию, точка E – середина медианы AM, поэтому длины оснований равны: $ME = AE$. Треугольники с равными основаниями и общей высотой (проведенной из вершины C к прямой AM) равновелики.

Следовательно, $S_{MEC} = S_{AEC}$.

Так как $S_{AMC} = S_{MEC} + S_{AEC}$, то:

$S_{MEC} = S_{AEC} = \frac{1}{2} S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot 60 = 30$ см².

3. Найдем отношение, в котором точка K делит сторону AC

Для нахождения этого отношения воспользуемся дополнительным построением. Проведем через точку M прямую, параллельную лучу BE (и, соответственно, отрезку BK), до пересечения со стороной AC в точке D.

Рассмотрим треугольник CBK. Так как M – середина стороны BC и по построению $MD \parallel BK$, то по теореме Фалеса отрезок MD является средней линией трапеции? Нет, это не трапеция. По обобщенной теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на одной стороне угла равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой стороне. В треугольнике CBK прямая MD параллельна стороне BK и проходит через середину стороны BC, значит, она пересекает сторону CK в ее середине. Таким образом, точка D – середина отрезка CK.

$CD = DK$.

Теперь рассмотрим треугольник ADM. Точка E – середина стороны AM по условию. Отрезок EK является частью прямой BK, а $MD \parallel BK$, значит $EK \parallel MD$. По той же теореме Фалеса, отрезок EK, будучи параллельным основанию MD и выходящим из точки E, должен пересечь сторону AD в ее середине. Следовательно, точка K – середина отрезка AD.

$AK = KD$.

Объединяя полученные равенства, имеем: $AK = KD = CD$. Это означает, что сторона AC разделена на три равные части: $AC = AK + KD + DC = 3AK$.

Отсюда следует, что $KC = KD + DC = 2AK$. Отношение $AK : KC = 1 : 2$.

4. Найдем площадь треугольника EKC

Рассмотрим треугольник AEC, площадь которого, как мы нашли в п.2, равна 30 см². Отрезок EK делит его на два треугольника: AEK и EKC. Эти треугольники имеют общую вершину E, а их основания AK и KC лежат на одной прямой. Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению длин их оснований.

$\frac{S_{EKC}}{S_{AEK}} = \frac{KC}{AK} = \frac{2}{1}$

Так как $S_{AEC} = S_{AEK} + S_{EKC} = 30$ см², и $S_{EKC} = 2 S_{AEK}$, получаем:

$S_{AEK} + 2 S_{AEK} = 30 \implies 3 S_{AEK} = 30 \implies S_{AEK} = 10$ см².

Тогда $S_{EKC} = 2 \cdot 10 = 20$ см².

5. Найдем площадь четырехугольника MEKC

Площадь искомого четырехугольника MEKC равна сумме площадей треугольников MEC и EKC.

$S_{MEKC} = S_{MEC} + S_{EKC}$

Из п.2 мы знаем, что $S_{MEC} = 30$ см². Из п.4 мы нашли, что $S_{EKC} = 20$ см².

$S_{MEKC} = 30 + 20 = 50$ см².

Ответ: 50 см².