Номер 8, страница 47 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Постройте графики уравнений системы $\begin{cases} x+y=5, \\ y-x^2=3 \end{cases}$ и найдите сумму ординат точек пересечения.

Постройте графики уравнений системы
Для построения графиков представим уравнения в виде функций $y(x)$.
1. Уравнение $x + y = 5$ эквивалентно $y = -x + 5$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Например, если $x = 0$, то $y = 5$, а если $x = 5$, то $y = 0$. Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 5)$ и $(5, 0)$.
2. Уравнение $y - x^2 = 3$ эквивалентно $y = x^2 + 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Она получена из графика $y = x^2$ путем сдвига на 3 единицы вверх по оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$, а ее ветви направлены вверх.

и найдите сумму ординат точек пересечения
Точки пересечения графиков являются решением системы уравнений. Для их нахождения приравняем выражения для $y$: $-x + 5 = x^2 + 3$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + x + 3 - 5 = 0$ $x^2 + x - 2 = 0$
Корни этого уравнения можно найти по теореме Виета: произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -2$, а их сумма $x_1 + x_2 = -1$. Этим условиям удовлетворяют корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив найденные значения $x$ в любое из уравнений системы, например, в $y = -x + 5$:

• При $x_1 = 1$, $y_1 = -1 + 5 = 4$. Первая точка пересечения: $(1, 4)$.
• При $x_2 = -2$, $y_2 = -(-2) + 5 = 2 + 5 = 7$. Вторая точка пересечения: $(-2, 7)$.

Ординаты точек пересечения равны 4 и 7. Сумма ординат равна $4 + 7 = 11$.
Ответ: 11