Номер 7, страница 47 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите наибольшее целое решение неравенства

$\frac{(x-9)^2}{x^2+x-12} \le 0$.

Чтобы решить неравенство $\frac{(x-9)^2}{x^2 + x - 12} \le 0$, определим, при каких значениях $x$ данное выражение не положительно. Это возможно в двух случаях: когда выражение равно нулю или когда оно меньше нуля.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + x - 12 \ne 0$. Решим уравнение $x^2 + x - 12 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$. Значит, ОДЗ: $x \ne -4$ и $x \ne 3$.

Рассмотрим случай, когда дробь равна нулю. Это возможно только если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. $(x-9)^2 = 0 \implies x-9=0 \implies x=9$.

Поскольку $x=9$ не совпадает с корнями знаменателя ( $9 \ne -4$ и $9 \ne 3$ ), это значение является решением неравенства, так как $0 \le 0$ — верное утверждение.

Теперь рассмотрим случай, когда дробь строго меньше нуля: $\frac{(x-9)^2}{x^2 + x - 12} < 0$.

Числитель $(x-9)^2$ всегда неотрицателен (то есть $(x-9)^2 \ge 0$). Для того чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть строго положителен, а знаменатель — строго отрицателен.

Это приводит к системе неравенств: $ (x-9)^2 > 0 $ и $ x^2 + x - 12 < 0 $.

Первое неравенство $ (x-9)^2 > 0 $ выполняется для всех $x$, кроме $x=9$.

Второе неравенство $x^2 + x - 12 < 0$ выполняется для $x$, находящихся между корнями $-4$ и $3$. То есть, $x \in (-4, 3)$.

Пересечением решений этих двух неравенств является интервал $(-4, 3)$.

Объединив все найденные решения, получаем, что решением исходного неравенства является множество $x \in (-4, 3) \cup \{9\}$.

В задаче требуется найти наибольшее целое решение. Выпишем все целые числа из полученного множества решений: $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 9$. Самое большое из этих чисел — это $9$.

Ответ: $9$.