Номер 10, страница 45 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Диагонали трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $AOD$ и $COD$ равны соответственно $54 \text{ см}^2$ и $18 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали, пересекающиеся в точке $O$: $\triangle AOD$, $\triangle BOC$, $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. У них общее основание $AD$, а высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ к этому основанию, равны между собой, так как они равны высоте трапеции ($AD \parallel BC$). Следовательно, площади этих треугольников равны: $S_{ABD} = S_{ACD}$.

Площадь треугольника $ABD$ можно представить как сумму площадей треугольников $AOB$ и $AOD$: $S_{ABD} = S_{AOB} + S_{AOD}$.
Площадь треугольника $ACD$ можно представить как сумму площадей треугольников $COD$ и $AOD$: $S_{ACD} = S_{COD} + S_{AOD}$.
Так как $S_{ABD} = S_{ACD}$, то $S_{AOB} + S_{AOD} = S_{COD} + S_{AOD}$, откуда следует, что площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны: $S_{AOB} = S_{COD}$.

По условию задачи $S_{COD} = 18 \text{ см}^2$, значит, и $S_{AOB} = 18 \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь треугольника $BOC$. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COD$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $D$ к прямой $AC$. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований $AO$ и $CO$: $\frac{S_{AOD}}{S_{COD}} = \frac{AO}{CO}$

Подставим известные значения площадей: $\frac{54}{18} = 3$.

Следовательно, $\frac{AO}{CO} = 3$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Отношение их площадей также равно отношению их оснований $AO$ и $CO$: $\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{CO}$

Мы уже знаем, что $\frac{AO}{CO} = 3$ и $S_{AOB} = 18 \text{ см}^2$. Подставим эти значения: $\frac{18}{S_{BOC}} = 3$

Отсюда находим площадь треугольника $BOC$: $S_{BOC} = \frac{18}{3} = 6 \text{ см}^2$.

Наконец, найдем площадь всей трапеции $ABCD$ как сумму площадей четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{AOD} + S_{COD} + S_{AOB} + S_{BOC}$
$S_{ABCD} = 54 + 18 + 18 + 6 = 96 \text{ см}^2$.

Ответ: 96 см².