Номер 3, страница 44 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

3. Какое из следующих утверждений НЕ верно:

а) диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся пополам;

б) периметр квадрата со стороной 6 см равен 24 см;

в) если у четырехугольника $ABCD \angle A + \angle C = 180^{\circ}$, то около него можно описать окружность;

г) если у $\triangle ABC \angle C = 90^{\circ}, AC = 3, BC = 4$, то $ctg A = \frac{3}{4}$?

Для того чтобы найти неверное утверждение, необходимо проанализировать каждое из предложенных вариантов.

а) диагонали равнобедренной трапеции точкой пересечения делятся пополам

В равнобедренной трапеции диагонали равны, но точкой пересечения они делятся на отрезки, пропорциональные основаниям. Пусть в трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $O$. Треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ подобны, и коэффициент подобия равен отношению оснований $k = \frac{AD}{BC}$. Так как в трапеции основания не равны ($AD \neq BC$), то $k \neq 1$. Из подобия следует, что $\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = k \neq 1$. Это значит, что точка $O$ не делит диагонали пополам. Это свойство выполняется для параллелограммов, но не для трапеций в общем случае.
Ответ: утверждение неверно.

б) периметр квадрата со стороной 6 см равен 24 см

Периметр квадрата ($P$) находится по формуле $P = 4a$, где $a$ – длина его стороны. По условию, $a = 6$ см. Вычисляем периметр: $P = 4 \times 6 = 24$ см.
Ответ: утверждение верно.

в) если у четырехугольника ABCD ∠A + ∠C = 180°, то около него можно описать окружность

Это один из признаков вписанного четырехугольника. Согласно теореме, если сумма противолежащих углов четырехугольника равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Условие $\angle A + \angle C = 180^\circ$ полностью соответствует этой теореме.
Ответ: утверждение верно.

г) если у ΔABC ∠C = 90°, AC = 3, BC = 4, то ctg A = 3/4?

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ котангенс угла $A$ определяется как отношение прилежащего катета ($AC$) к противолежащему катету ($BC$). $ctg A = \frac{AC}{BC}$.

Подставляя данные значения, получаем: $ctg A = \frac{3}{4}$.
Ответ: утверждение верно.

Таким образом, единственное неверное утверждение из перечисленных — это утверждение под буквой а).