Номер 8, страница 43 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Упростите выражение

$\left( \frac{x-4}{x^2-2x+1} - \frac{x+2}{x^2+x-2} \right) : \frac{1}{(2x-2)^2}$

Для упрощения выражения $ (\frac{x-4}{x^2 - 2x + 1} - \frac{x+2}{x^2 + x - 2}) : \frac{1}{(2x - 2)^2} $ выполним действия по порядку.

Сначала разложим на множители знаменатели в выражении.

Знаменатель первой дроби, $x^2 - 2x + 1$, является формулой квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Знаменатель второй дроби, $x^2 + x - 2$, можно разложить, найдя корни квадратного уравнения $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета корни равны $1$ и $-2$. Таким образом, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$.

Знаменатель выражения, на которое делим, $(2x-2)^2$, можно преобразовать: $(2(x-1))^2 = 4(x-1)^2$.

Теперь подставим разложенные знаменатели в исходное выражение: $ (\frac{x-4}{(x-1)^2} - \frac{x+2}{(x-1)(x+2)}) : \frac{1}{4(x-1)^2} $.

Выполним действие в скобках. Во второй дроби можно сократить числитель и знаменатель на $(x+2)$ при условии $x \neq -2$, после чего дробь примет вид $ \frac{1}{x-1} $.

Теперь выражение в скобках выглядит так: $ \frac{x-4}{(x-1)^2} - \frac{1}{x-1} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)^2$: $ \frac{x-4}{(x-1)^2} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x-1)(x-1)} = \frac{x-4 - (x-1)}{(x-1)^2} $.

Упростим числитель полученной дроби: $ \frac{x-4-x+1}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} $.

Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь: $ \frac{-3}{(x-1)^2} : \frac{1}{4(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} \cdot \frac{4(x-1)^2}{1} $.

Сократим общий множитель $(x-1)^2$ в числителе и знаменателе (это возможно при $x \neq 1$): $ -3 \cdot 4 = -12 $.

Упрощение выполнено с учетом области допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$ и $x \neq -2$.

Ответ: $-12$