Номер 10, страница 43 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Диагонали трапеции $ABCD (AD \parallel BC)$ пересекаются в точке $O$. Площади треугольников $ABO$ и $BOC$ равны соответственно $16 \text{ см}^2$ и $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь трапеции.

Пусть $S_{ABO}$, $S_{BOC}$, $S_{COD}$ и $S_{DOA}$ — это площади треугольников, на которые диагонали трапеции делят её. По условию, мы имеем трапецию $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$), диагонали которой пересекаются в точке $O$. Нам даны площади: $S_{ABO} = 16 \text{ см}^2$ и $S_{BOC} = 8 \text{ см}^2$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DBC$. У них общее основание $BC$ и одинаковые высоты, проведенные к этому основанию, так как их вершины $A$ и $D$ лежат на прямой $AD$, параллельной основанию $BC$. Следовательно, их площади равны: $S_{ABC} = S_{DBC}$.

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABO$ и $BOC$: $S_{ABC} = S_{ABO} + S_{BOC}$.
Площадь треугольника $DBC$ равна сумме площадей треугольников $COD$ и $BOC$: $S_{DBC} = S_{COD} + S_{BOC}$.

Приравнивая выражения для площадей $S_{ABC}$ и $S_{DBC}$, получаем: $S_{ABO} + S_{BOC} = S_{COD} + S_{BOC}$.
Отсюда следует важное свойство площадей треугольников, образованных диагоналями трапеции: площади треугольников, прилежащих к боковым сторонам, равны. $S_{ABO} = S_{COD}$.

Поскольку по условию $S_{ABO} = 16 \text{ см}^2$, то и $S_{COD} = 16 \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь треугольника $DOA$. Рассмотрим треугольники $ABO$ и $BOC$. Они имеют общую вершину $B$, а их основания $AO$ и $OC$ лежат на одной прямой $AC$. Отношение их площадей равно отношению длин их оснований: $\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC}$.

Подставляя известные значения, получаем: $\frac{16}{8} = \frac{AO}{OC}$, что дает $\frac{AO}{OC} = 2$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $DOA$ и $COD$. Они имеют общую вершину $D$, а их основания $AO$ и $OC$ лежат на одной прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей также равно отношению оснований: $\frac{S_{DOA}}{S_{COD}} = \frac{AO}{OC}$.

Мы уже знаем, что $\frac{AO}{OC} = 2$ и $S_{COD} = 16 \text{ см}^2$. Подставим эти значения в последнее равенство: $\frac{S_{DOA}}{16} = 2$.
Отсюда находим площадь треугольника $DOA$: $S_{DOA} = 16 \cdot 2 = 32 \text{ см}^2$.

Площадь всей трапеции $ABCD$ равна сумме площадей четырех треугольников, на которые она разбита диагоналями: $S_{ABCD} = S_{ABO} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA}$.

Подставляем найденные значения площадей: $S_{ABCD} = 16 + 8 + 16 + 32 = 72 \text{ см}^2$.

Ответ: 72 см².