Номер 8, страница 45 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

8. Упростите выражение

$\left(\frac{y+2}{y^2-y-6} - \frac{y}{y^2-6y+9}\right) : \frac{1}{(2y-6)^2}.$

Для упрощения данного выражения выполним действия по порядку.

Исходное выражение: $ (\frac{y+2}{y^2-y-6} - \frac{y}{y^2-6y+9}) : \frac{1}{(2y-6)^2} $.

1. Разложим на множители знаменатели в выражении.

Знаменатель первой дроби $ y^2-y-6 $. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни с помощью теоремы Виета: произведение корней равно -6, а их сумма равна 1. Корнями являются числа 3 и -2. Следовательно, $ y^2-y-6 = (y-3)(y+2) $.

Знаменатель второй дроби $ y^2-6y+9 $. Это формула квадрата разности: $ y^2-2 \cdot y \cdot 3 + 3^2 = (y-3)^2 $.

Знаменатель дроби, на которую делим, $ (2y-6)^2 $. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $ (2(y-3))^2 = 2^2(y-3)^2 = 4(y-3)^2 $.

2. Подставим полученные разложения в исходное выражение.

$ (\frac{y+2}{(y-3)(y+2)} - \frac{y}{(y-3)^2}) : \frac{1}{4(y-3)^2} $.

3. Выполним действия в скобках.

Сначала сократим первую дробь. Заметим, что числитель и знаменатель содержат общий множитель $ (y+2) $.

$ \frac{y+2}{(y-3)(y+2)} = \frac{1}{y-3} $ (при условии, что $ y+2 \neq 0 $, т.е. $ y \neq -2 $).

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$ \frac{1}{y-3} - \frac{y}{(y-3)^2} $.

Приведем дроби к общему знаменателю $ (y-3)^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби – $ (y-3) $.

$ \frac{1 \cdot (y-3)}{(y-3)^2} - \frac{y}{(y-3)^2} = \frac{y-3-y}{(y-3)^2} = \frac{-3}{(y-3)^2} $.

4. Выполним деление.

Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{-3}{(y-3)^2} : \frac{1}{4(y-3)^2} = \frac{-3}{(y-3)^2} \cdot \frac{4(y-3)^2}{1} $.

Сократим общий множитель $ (y-3)^2 $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ y-3 \neq 0 $, т.е. $ y \neq 3 $).

$ \frac{-3}{\cancel{(y-3)^2}} \cdot \frac{4\cancel{(y-3)^2}}{1} = -3 \cdot 4 = -12 $.

Упрощенное выражение не зависит от переменной $ y $, но оно определено только при $ y \neq 3 $ и $ y \neq -2 $.

Ответ: -12