Номер 6, страница 46 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

6. Сумма длин гипотенузы и катета, лежащего в данном треугольнике против угла в $30^\circ$, равна 24 см. Найдите площадь круга, описанного около треугольника.

Поскольку в задаче упоминаются гипотенуза и катет, речь идет о прямоугольном треугольнике.

Пусть $c$ — длина гипотенузы, а $a$ — длина катета, лежащего против угла в $30^\circ$.

Из условия задачи известно, что сумма их длин равна 24 см: $c + a = 24$

Ключевым свойством прямоугольного треугольника с углом $30^\circ$ является то, что катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы: $a = \frac{c}{2}$

Теперь мы можем составить систему из двух уравнений и решить ее. Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое: $c + \frac{c}{2} = 24$

Решим полученное уравнение относительно $c$: $\frac{3c}{2} = 24$ $3c = 24 \cdot 2$ $3c = 48$ $c = \frac{48}{3}$ $c = 16$ см.

Итак, длина гипотенузы треугольника составляет 16 см.

Для любого прямоугольного треугольника центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а ее радиус $R$ равен половине длины гипотенузы. $R = \frac{c}{2}$

Найдем радиус описанной окружности: $R = \frac{16}{2} = 8$ см.

Площадь круга $S$ находится по формуле $S = \pi R^2$. Подставим в нее найденное значение радиуса: $S = \pi \cdot 8^2 = 64\pi$ см².

Ответ: $64\pi$ см².