Номер 9, страница 47 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

9. Три числа, дающие в сумме 36, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если от первого числа вычесть 5, от второго вычесть 6, а третье число увеличить вдвое, то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа.

Пусть три искомых числа являются последовательными членами арифметической прогрессии. Обозначим их как $a - d$, $a$ и $a + d$, где $a$ — средний член, а $d$ — разность прогрессии.

По условию задачи, сумма этих чисел равна 36:

$(a - d) + a + (a + d) = 36$

$3a = 36$

$a = 12$

Таким образом, среднее число равно 12, а три числа имеют вид: $12 - d$, $12$, $12 + d$.

Далее, согласно условию, от первого числа вычитают 5, от второго — 6, а третье увеличивают вдвое. Полученные числа образуют последовательные члены геометрической прогрессии. Обозначим их $b_1, b_2, b_3$.

$b_1 = (12 - d) - 5 = 7 - d$

$b_2 = 12 - 6 = 6$

$b_3 = (12 + d) \cdot 2 = 24 + 2d$

Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим полученные выражения:

$6^2 = (7 - d)(24 + 2d)$

$36 = 168 + 14d - 24d - 2d^2$

$36 = 168 - 10d - 2d^2$

Перенесём все члены в левую часть уравнения и приведём подобные:

$2d^2 + 10d + 36 - 168 = 0$

$2d^2 + 10d - 132 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$d^2 + 5d - 66 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. Корнями уравнения являются числа 6 и -11, так как $6 \cdot (-11) = -66$ и $6 + (-11) = -5$.

$d_1 = 6$, $d_2 = -11$.

Рассмотрим оба возможных значения для разности прогрессии $d$.

1. Если $d = 6$, то исходные числа равны:

Первое число: $12 - 6 = 6$

Второе число: $12$

Третье число: $12 + 6 = 18$

Получаем набор чисел: 6, 12, 18.

2. Если $d = -11$, то исходные числа равны:

Первое число: $12 - (-11) = 23$

Второе число: $12$

Третье число: $12 + (-11) = 1$

Получаем набор чисел: 23, 12, 1.

Оба набора чисел удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: 6, 12, 18 или 23, 12, 1.