Номер 7, страница 53 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

7. Найдите площадь треугольника со сторонами 10 см, 24 см и 26 см.

$(7-1)^{-2}$

Для нахождения площади треугольника со сторонами $a=10$ см, $b=24$ см и $c=26$ см, можно рассмотреть два подхода.

Подход 1: Проверка на прямоугольный треугольник

Первым делом стоит проверить, не является ли данный треугольник прямоугольным. Согласно обратной теореме Пифагора, если сумма квадратов двух меньших сторон треугольника равна квадрату его большей стороны ($a^2 + b^2 = c^2$), то такой треугольник является прямоугольным. В нашем случае, наибольшая сторона $c=26$ см.

Проверим равенство:

$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$

$26^2 = 676$

Поскольку $10^2 + 24^2 = 26^2$, равенство выполняется. Следовательно, треугольник — прямоугольный, а его катеты равны 10 см и 24 см.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 24 \text{ см} = 120 \text{ см}^2$.

Подход 2: Формула Герона

Этот метод является универсальным и позволяет найти площадь любого треугольника по трём его сторонам. Формула Герона имеет вид:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $a, b, c$ — длины сторон, а $p$ — полупериметр.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+24+26}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ см}$.

Теперь подставим значения в формулу:

$S = \sqrt{30(30-10)(30-24)(30-26)} = \sqrt{30 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{14400} = 120 \text{ см}^2$.

Оба подхода дают одинаковый результат, что подтверждает правильность решения.

Ответ: $120 \text{ см}^2$.