Номер 10, страница 53 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $K$, $AK = 4$, $KB = 9$, $DK = 3$. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.

Для того чтобы найти площадь круга, ограниченного данной окружностью, нам необходимо найти квадрат его радиуса $R^2$. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Нахождение длины отрезка CK
Согласно свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению длин отрезков, на которые она делит другую хорду.
Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $K$, это свойство записывается в виде формулы: $AK \cdot KB = DK \cdot CK$
Подставим известные значения из условия задачи ($AK=4$, $KB=9$, $DK=3$): $4 \cdot 9 = 3 \cdot CK$ $36 = 3 \cdot CK$ $CK = \frac{36}{3} = 12$

Нахождение радиуса окружности R
Сначала найдем полные длины хорд:
$AB = AK + KB = 4 + 9 = 13$
$CD = DK + CK = 3 + 12 = 15$
Пусть $O$ — центр окружности. Проведем из центра $O$ перпендикуляры $OM$ к хорде $AB$ и $ON$ к хорде $CD$. По свойству, перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Таким образом, точка $M$ является серединой $AB$, а точка $N$ — серединой $CD$.
Вычислим половины длин хорд:
$AM = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6.5$
$ND = \frac{CD}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$
Рассмотрим четырехугольник $OMKN$. Так как хорды $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны ($AB \perp CD$), то угол $\angle MKN = 90^\circ$. Углы $\angle OMK$ и $\angle ONK$ также прямые, так как $OM$ и $ON$ — перпендикуляры. Следовательно, $OMKN$ — прямоугольник.
Из этого следует, что противолежащие стороны прямоугольника равны: $OM = NK$ и $ON = MK$.
Найдем длины отрезков $MK$ и $NK$:
$MK = |AM - AK| = |6.5 - 4| = 2.5$
$NK = |ND - DK| = |7.5 - 3| = 4.5$
Таким образом, $ON = MK = 2.5$ и $OM = NK = 4.5$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMA$. Его катеты — $OM$ и $AM$, а гипотенуза — радиус $OA = R$. По теореме Пифагора: $R^2 = OM^2 + AM^2$
Подставим найденные значения: $R^2 = (4.5)^2 + (6.5)^2 = (\frac{9}{2})^2 + (\frac{13}{2})^2 = \frac{81}{4} + \frac{169}{4} = \frac{81 + 169}{4} = \frac{250}{4} = \frac{125}{2} = 62.5$

Нахождение площади круга
Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.
Мы нашли, что $R^2 = 62.5$. Подставим это значение в формулу: $S = 62.5\pi$

Ответ: $62.5\pi$.