Номер 5, страница 54 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

5. В треугольнике две стороны равны 6 см и 10 см, а сумма углов, противолежащих этим сторонам, равна 120°. Найдите третью сторону треугольника.

Пусть в треугольнике даны стороны $a=6$ см и $b=10$ см. Обозначим углы, противолежащие этим сторонам, как $α$ и $β$ соответственно. Третья сторона пусть будет $c$, а противолежащий ей угол — $γ$.

Согласно условию задачи, сумма углов $α$ и $β$ составляет $120°$: $α + β = 120°$.

Так как сумма всех углов в треугольнике равна $180°$, мы можем найти величину третьего угла $γ$: $γ = 180° - (α + β) = 180° - 120° = 60°$.

Теперь, когда мы знаем две стороны ($a$ и $b$) и угол между ними ($γ$), мы можем найти длину третьей стороны $c$, применив теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(γ)$.

Подставим известные значения в формулу: $c^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(60°)$.

Зная, что значение $\cos(60°)$ равно $\frac{1}{2}$, продолжим вычисления: $c^2 = 36 + 100 - 120 \cdot \frac{1}{2}$ $c^2 = 136 - 60$ $c^2 = 76$.

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения: $c = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.

Ответ: $2\sqrt{19}$ см.