Номер 10, страница 55 - гдз по математике 9 класс сборник заданий для выпускного экзамена Беняш-Кривец, Цыбулько

10. Точка $M$ — середина стороны $BC$ квадрата $ABCD$, площадь которого равна $20 \text{ см}^2$. К отрезку $AM$ проведен перпендикуляр $DK$. Найдите площадь четырехугольника $DKMC$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Площадь квадрата $S_{ABCD} = a^2$. По условию, $S_{ABCD} = 20 \text{ см}^2$, следовательно, $a^2 = 20$ и $a = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ см}$.

Точка $M$ — середина стороны $BC$, поэтому $BM = MC = \frac{a}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} \text{ см}$.

Площадь искомого четырехугольника $DKMC$ можно представить как сумму площадей двух треугольников: $S_{DKMC} = S_{\triangle DKM} + S_{\triangle DMC}$.

Найдем площадь треугольника $DMC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то угол $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle DMC$ — прямоугольный треугольник. Его площадь равна половине произведения катетов $DC$ и $MC$: $S_{\triangle DMC} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot MC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} = \frac{20}{4} = 5 \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь треугольника $DKM$. Для этого рассмотрим треугольник $ADM$. Его площадь можно найти, вычтя из площади квадрата площади треугольников $ABM$ и $DMC$. $S_{\triangle ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} = \frac{20}{4} = 5 \text{ см}^2$. $S_{\triangle ADM} = S_{ABCD} - S_{\triangle ABM} - S_{\triangle DMC} = 20 - 5 - 5 = 10 \text{ см}^2$.

Отрезок $DK$ является высотой в треугольнике $ADM$, проведенной к стороне $AM$, так как по условию $DK \perp AM$. Площадь треугольника $ADM$ можно представить как сумму площадей треугольников $ADK$ и $DKM$: $S_{\triangle ADM} = S_{\triangle ADK} + S_{\triangle DKM}$.

Отсюда $S_{\triangle DKM} = S_{\triangle ADM} - S_{\triangle ADK} = 10 - S_{\triangle ADK}$.

Чтобы найти $S_{\triangle ADK}$, рассмотрим треугольники $ABM$ и $DKA$.

В прямоугольном треугольнике $ABM$ ($\angle B = 90^\circ$): $AM^2 = AB^2 + BM^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$. $AM = \sqrt{\frac{5 \cdot 20}{4}} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$.

Сравним углы треугольников $ABM$ и $DKA$.

Пусть $\angle MAB = \alpha$. Так как $\angle DAB = 90^\circ$, то $\angle DAM = 90^\circ - \alpha$.

В треугольнике $ADK$, угол $\angle DKA = 90^\circ$ (так как $DK \perp AM$).

Сумма углов в треугольнике $ADK$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle ADK = 180^\circ - 90^\circ - \angle DAM = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.

Таким образом, $\angle ADK = \angle MAB$.

Мы имеем: $\angle ABM = \angle DKA = 90^\circ$. $\angle MAB = \angle ADK = \alpha$.

Следовательно, треугольники $ABM$ и $DKA$ подобны по двум углам ($\triangle ABM \sim \triangle DKA$).

Из подобия следует соотношение сторон: $\frac{DK}{AB} = \frac{KA}{BM} = \frac{DA}{AM}$.

Подставим известные значения: $AB = DA = a = 2\sqrt{5}$, $BM = \sqrt{5}$, $AM = 5$. $\frac{DK}{2\sqrt{5}} = \frac{KA}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Из этого соотношения находим длины $DK$ и $KA$: $DK = 2\sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4 \cdot 5}{5} = 4 \text{ см}$. $KA = \sqrt{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2 \text{ см}$.

Теперь можем найти площадь треугольника $ADK$: $S_{\triangle ADK} = \frac{1}{2} \cdot KA \cdot DK = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4 \text{ см}^2$.

Тогда площадь треугольника $DKM$ равна: $S_{\triangle DKM} = S_{\triangle ADM} - S_{\triangle ADK} = 10 - 4 = 6 \text{ см}^2$.

Наконец, находим площадь четырехугольника $DKMC$: $S_{DKMC} = S_{\triangle DKM} + S_{\triangle DMC} = 6 + 5 = 11 \text{ см}^2$.

Ответ: $11 \text{ см}^2$.